1. Деформации, о которых шла речь до сих пор, были деформациями однородными, т. е. такими, когда все бесконечно малые элементы тела деформированы одинаково. Деформации кручения и изгиба, к изучению которых мы обращаемся, являются деформациями неоднородными. Это значит, что в этих случаях деформации внутри тела меняются от точки к точке.

Возьмем однородную проволоку, закрепим ее верхний конец, а к нижнему концу приложим закручивающие силы, создающие вращающий момент $M$ относительно продольной оси проволоки. Проволока закрутится – каждый радиус нижнего основания ее повернется вокруг продольной оси на угол $\varphi$. Такая деформация называется кручением. Закон Гука для деформации кручения записывается в виде
\[
M=f \varphi,
\]

где $f$ – постоянная для данной проволоки величина, называемая ее модулем кручения. В отличие от ранее введенных модулей $E, K$, $E^{\prime}, G$ и коэффициента $\mu$, модуль кручения зависит не только от материала, но и от геометрических размеров проволоки.
2. Выведем выражение для модуля кручения $f$. Сначала сделаем это для цилиндрической трубки радиусом $r$ и длиной $l$, предполагая, что толщина $\delta r$ стенки трубки очень мала по сравнению с радиусом $r$. Площадь основания трубки есть $2 \pi r \delta r$. Момент сил, действующий на это основание, будет $M=2 \pi r \delta r \cdot \tau r$, где $\tau$ – касательное напряжение в том же основании. При квазистатическом закручивании проволоки на угол $\varphi$ совершается работа $A=1 / 2 M \varphi=M^{2} / 2 f$. Разделив ее на объем трубки $V=2 \pi r l \delta r$, найдем плотность упругой энергии при деформации кручения
\[
u=\frac{\pi \tau^{2} r^{3} \delta r}{f l} .
\]

Ту же величину можно выразить иначе. Вырежем мысленно из трубки бесконечно короткую часть, изображенную на рис. 205 . В результате деформации кручения бесконечно малый элемент трубки $A B D C$ перейдет в положение $A^{\prime} B^{\prime} D C$. Это есть сдвиг. Таким образом, деформацию кручения можно рас-
Рис. 205

сматривать как неоднородный сдвиг. Плотность упругой энергии при сдвиге дается выражением (78.2). Приравнивая его выражению (79.2), находим искомое соотношение
\[
f=\frac{2 \pi G}{l} r^{3} \delta r .
\]

Если стенка трубки имеет конечную толщину, то модуль $f$ найдется интегрированием последнего выражения по $r$. Это дает
\[
f=\frac{\pi G}{2 l}\left(r_{2}^{4}-r_{1}^{4}\right)
\]

где $r_{1}$ – внутренний радиус трубки, а $r_{2}$ – наружный. Для сплошной проволоки радиуса $r$
\[
f=\frac{\pi G}{2 l} r^{4} .
\]
3. Экспериментально модуль кручения можно измерить, наблюдая крутильные колебания тяжелого тела, подвешенного к нижнему концу проволоки. Эти колебания будут гармоническими с периодом
\[
T=2 \pi \sqrt{\frac{I}{f}}
\]
(см. § 42). Если момент инерции тела $l$ известен, то, измерив период колебаний $T$, можно вычислить по этой формуле модуль кручения $f$.

ЗАДАЧИ

1. Две проволоки одинаковой длины сделаны из одного и того же материала, но диаметр второй из них вдвое больше, чем первой. В одном из опытов нижнее основание каждой проволоки было закручено относительно ее верхнего основания на один и тот же угол. В другом опыте проволоки были сварены своими основаниями так, что ось одной из них стала продолжением оси другой; затем нижнее основание получившейся составной проволоки было закручено относительно верхнего на некоторый угол. Найти отношения упругих энергий проволок в обоих случаях.
Ответ. 1) $U_{1} / U_{2}=1 / 16$. 2) $U_{1} / U_{2}=16$.
2. Шар, подвешенный на проволоке, совершает крутильные колебания с периодом $T$ вокруг вертикальной оси. Найти период колебаний того же шара $T^{\prime}$, если проволоку, на которой он был подвешен, заменить цилиндрической трубкой той же длины и массы с внешним радиусом $R$ и внутренним радиусом $r$ и изготовленной из того же материала.
Ответ. $T^{\prime}=T \sqrt{\frac{R^{2}-r^{2}}{R^{2}+r^{2}}}$.
3. Определить удлинение спиральной пружины, если растягивающие силы действуют вдоль ее оси. Шаг спирали считать пренебрежимо малым по сравнению с радиусом витка $R$. Модуль кручения проволоки, из которой изготовлена спираль, считать известным.

Решение. Произведем мысленный разрез проволоки пружины в произвольной точке $A$ плоскостью, проходящей через ось пружины (рис. 206 a). Пусть $\mathbf{F}_{1}$ – сила, с которой нижняя часть пружины действует на верхнюю в месте разреза. Для равновесия необходимо, чтобы $\mathbf{F}_{1}=-\mathbf{F}$, где $\mathbf{F}$ – растягивающая сила, действующая на верхнюю часть пружины. Так как силы $\mathbf{F}$ и $\mathbf{F}_{1}$ образуют пару, то момент этой пары не зависит от выбора точки, относительно которой он берется. Этот момент перпендикулярен к плоскости разреза и равен $M=F R$. Из-за малости шага витка можно считать, что момент в точке $A$ направлен вдоль оси проволоки. Чтобы рассматриваемая часть пружины находилась в равновесии, необходимо,
Рис. 206

чтобы возникло кручение проволоки вокруг ее оси, компенсирующее момент М. Когда растягивающие силы $F$ действуют вдоль оси пружины, модуль момента $M$ не меняется вдоль проволоки, а потому кручение ее будет равномерным. Пусть $d l$ – элемент длины проволоки. Под действием момента $M$ он закрутится на угол $d \varphi=M / f_{1}$, где $f_{1}$ – модуль кручения рассматриваемого элемента. Обозначим через $f$ модуль кручения всей проволоки (если ее выпрямить). Так как модуль кручения обратно пропорционален длине проволоки $l_{0}$, то $f=f_{1} \frac{d l}{l_{0}}$, а потому $d \varphi=\frac{M}{f} \frac{d l}{l_{0}}$. В результате закручивания элемента $d l$ на угол $d \varphi$ нижний конец проволоки опустится на $d x=R d \varphi=\frac{M R}{f} \frac{d l}{l_{0}}=\frac{F R^{2}}{f} \frac{d l}{l_{0}}$. Интегрируя по всей длине проволоки, найдем удлинение пружины
\[
x=\frac{F R^{2}}{f} .
\]

Введем жесткость пружины по формуле $F=k x$. Тогда
\[
k=\frac{f}{R^{2}} .
\]
4. Рассмотреть ту же задачу для случая, когда растягивающие силы действуют не вдоль оси пружины, а вдоль одной из образующих цилиндрической поверхности, на которую она намотана.

Решение. Мысленно выделим произвольный участок проволоки $A B$ (рис. 206 б). Силы, действующие на его концы, перпендикулярны к плоскости рисунка (параллельны продольной оси пружины). Каждая из этих сил равна внешней силе $F$, приложенной к пружине. Силу, направленную к нам, изобразим точкой, от нас – крестиком. Момент М сил, приложенных к выделенному участку, перпендикулярен к хорде $A B$ и равен $M=2 F R \sin (\alpha / 2)$. Разложим этот момент на составляющую $M_{l}$ вдоль проволоки и составляющую $M_{R}$, перпендикулярную к ней. Если пружина содержит много витков, то составляющую $M_{R}$ можно не учитывать. Она вызывает изгиб проволоки вокруг оси, параллельной радиусу $O B$. Но легко видеть, что такой момент изгибает участок $A C$ в одну сторону, а участок $C A^{\prime}$ – в противоположную, так что в целом при большом числе витков изгиб практически не влияет на удлинение пружины. Момент $M_{l}$ равен $M \sin (\alpha / 2)=2 F R \sin ^{2}(\alpha / 2)$. Элемент проволоки длиной $d l$ он закрутит на угол $d \varphi=\frac{M_{l}}{f_{1}}=\frac{M_{l}}{f} \frac{d l}{l_{0}}$ и сместит свободный конец пружины на величину
\[
d x=A D \cdot d \varphi=A B \sin \frac{\alpha}{2} \cdot d \varphi=\frac{4 F R^{2}}{f l_{0}} \sin ^{4} \frac{\alpha}{2} d l=\frac{4 F R^{3}}{f l_{0}} \sin ^{4} \frac{\alpha}{2} d \alpha .
\]

В отличие от предыдущего случая, кручение проволоки неоднородно. Интегрируя по всей длине пружины и считая число витков целым, получим
\[
x=\frac{3}{4} \frac{F R^{2}}{f} .
\]