1. Деформации, о которых шла речь до сих пор, были деформациями однородными, т. е. такими, когда все бесконечно малые элементы тела деформированы одинаково. Деформации кручения и изгиба, к изучению которых мы обращаемся, являются деформациями неоднородными. Это значит, что в этих случаях деформации внутри тела меняются от точки к точке.

Возьмем однородную проволоку, закрепим ее верхний конец, а к нижнему концу приложим закручивающие силы, создающие вращающий момент $M$ относительно продольной оси проволоки. Проволока закрутится — каждый радиус нижнего основания ее повернется вокруг продольной оси на угол $\phi$. Такая деформация называется кручением. Закон Гука для деформации кручения записывается в виде
$$M=f\phi ,$$

где $f$ — постоянная для данной проволоки величина, называемая ее модулем кручения. В отличие от ранее введенных модулей $E,K$, $E^{\prime },G$ и коэффициента $\mu$, модуль кручения зависит не только от материала, но и от геометрических размеров проволоки.
2. Выведем выражение для модуля кручения $f$. Сначала сделаем это для цилиндрической трубки радиусом $r$ и длиной $l$, предполагая, что толщина $\delta r$ стенки трубки очень мала по сравнению с радиусом $r$. Площадь основания трубки есть $2\pi r\delta r$. Момент сил, действующий на это основание, будет $M=2\pi r\delta r\cdot \tau r$, где $\tau$ — касательное напряжение в том же основании. При квазистатическом закручивании проволоки на угол $\phi$ совершается работа $A=1/2M\phi =M^2/2f$. Разделив ее на объем трубки $V=2\pi rl\delta r$, найдем плотность упругой энергии при деформации кручения
$$u=\frac{\pi {\tau }^2{r}^3\delta r}{fl}.$$

Ту же величину можно выразить иначе. Вырежем мысленно из трубки бесконечно короткую часть, изображенную на рис. 205 . В результате деформации кручения бесконечно малый элемент трубки $ABDC$ перейдет в положение $A^{\prime }{B}^{\prime }DC$. Это есть сдвиг. Таким образом, деформацию кручения можно рас-
Рис. 205

сматривать как неоднородный сдвиг. Плотность упругой энергии при сдвиге дается выражением (78.2). Приравнивая его выражению (79.2), находим искомое соотношение
$$f=\frac{2\pi G}{l}{r}^3\delta r.$$

Если стенка трубки имеет конечную толщину, то модуль $f$ найдется интегрированием последнего выражения по $r$. Это дает
$$f=\frac{\pi G}{2l}(r_2^4-r_1^4)$$

где $r_1$ — внутренний радиус трубки, а $r_2$ — наружный. Для сплошной проволоки радиуса $r$
$$f=\frac{\pi G}{2l}{r}^4.$$
3. Экспериментально модуль кручения можно измерить, наблюдая крутильные колебания тяжелого тела, подвешенного к нижнему концу проволоки. Эти колебания будут гармоническими с периодом
$$T=2\pi \sqrt{\frac{I}{f}}$$
(см. § 42). Если момент инерции тела $l$ известен, то, измерив период колебаний $T$, можно вычислить по этой формуле модуль кручения $f$.

ЗАДАЧИ

1. Две проволоки одинаковой длины сделаны из одного и того же материала, но диаметр второй из них вдвое больше, чем первой. В одном из опытов нижнее основание каждой проволоки было закручено относительно ее верхнего основания на один и тот же угол. В другом опыте проволоки были сварены своими основаниями так, что ось одной из них стала продолжением оси другой; затем нижнее основание получившейся составной проволоки было закручено относительно верхнего на некоторый угол. Найти отношения упругих энергий проволок в обоих случаях.
Ответ. 1) $U_1/U_2=1/16$. 2) $U_1/U_2=16$.
2. Шар, подвешенный на проволоке, совершает крутильные колебания с периодом $T$ вокруг вертикальной оси. Найти период колебаний того же шара $T^{\prime }$, если проволоку, на которой он был подвешен, заменить цилиндрической трубкой той же длины и массы с внешним радиусом $R$ и внутренним радиусом $r$ и изготовленной из того же материала.
Ответ. $T^{\prime }=T\sqrt{\frac{R^2-r^2}{R^2+r^2}}$.
3. Определить удлинение спиральной пружины, если растягивающие силы действуют вдоль ее оси. Шаг спирали считать пренебрежимо малым по сравнению с радиусом витка $R$. Модуль кручения проволоки, из которой изготовлена спираль, считать известным.

Решение. Произведем мысленный разрез проволоки пружины в произвольной точке $A$ плоскостью, проходящей через ось пружины (рис. 206 a). Пусть ${\mathbf{F}}_1$ — сила, с которой нижняя часть пружины действует на верхнюю в месте разреза. Для равновесия необходимо, чтобы ${\mathbf{F}}_1=-\mathbf{F}$, где $\mathbf{F}$ — растягивающая сила, действующая на верхнюю часть пружины. Так как силы $\mathbf{F}$ и ${\mathbf{F}}_1$ образуют пару, то момент этой пары не зависит от выбора точки, относительно которой он берется. Этот момент перпендикулярен к плоскости разреза и равен $M=FR$. Из-за малости шага витка можно считать, что момент в точке $A$ направлен вдоль оси проволоки. Чтобы рассматриваемая часть пружины находилась в равновесии, необходимо,
Рис. 206

чтобы возникло кручение проволоки вокруг ее оси, компенсирующее момент М. Когда растягивающие силы $F$ действуют вдоль оси пружины, модуль момента $M$ не меняется вдоль проволоки, а потому кручение ее будет равномерным. Пусть $dl$ — элемент длины проволоки. Под действием момента $M$ он закрутится на угол $d\phi =M/f_1$, где $f_1$ — модуль кручения рассматриваемого элемента. Обозначим через $f$ модуль кручения всей проволоки (если ее выпрямить). Так как модуль кручения обратно пропорционален длине проволоки $l_0$, то $f=f_1\frac{dl}{l_0}$, а потому $d\phi =\frac{M}{f}\frac{dl}{l_0}$. В результате закручивания элемента $dl$ на угол $d\phi$ нижний конец проволоки опустится на $dx=Rd\phi =\frac{MR}{f}\frac{dl}{l_0}=\frac{F{R}^2}{f}\frac{dl}{l_0}$. Интегрируя по всей длине проволоки, найдем удлинение пружины
$$x=\frac{F{R}^2}{f}.$$

Введем жесткость пружины по формуле $F=kx$. Тогда
$$k=\frac{f}{R^2}.$$
4. Рассмотреть ту же задачу для случая, когда растягивающие силы действуют не вдоль оси пружины, а вдоль одной из образующих цилиндрической поверхности, на которую она намотана.

Решение. Мысленно выделим произвольный участок проволоки $AB$ (рис. 206 б). Силы, действующие на его концы, перпендикулярны к плоскости рисунка (параллельны продольной оси пружины). Каждая из этих сил равна внешней силе $F$, приложенной к пружине. Силу, направленную к нам, изобразим точкой, от нас — крестиком. Момент М сил, приложенных к выделенному участку, перпендикулярен к хорде $AB$ и равен $M=2FR\sin (\alpha /2)$. Разложим этот момент на составляющую $M_l$ вдоль проволоки и составляющую $M_R$, перпендикулярную к ней. Если пружина содержит много витков, то составляющую $M_R$ можно не учитывать. Она вызывает изгиб проволоки вокруг оси, параллельной радиусу $OB$. Но легко видеть, что такой момент изгибает участок $AC$ в одну сторону, а участок $C{A}^{\prime }$ — в противоположную, так что в целом при большом числе витков изгиб практически не влияет на удлинение пружины. Момент $M_l$ равен $M\sin (\alpha /2)=2FR{\sin }^2(\alpha /2)$. Элемент проволоки длиной $dl$ он закрутит на угол $d\phi =\frac{M_l}{f_1}=\frac{M_l}{f}\frac{dl}{l_0}$ и сместит свободный конец пружины на величину
$$dx=AD\cdot d\phi =AB\sin \frac{\alpha }{2}\cdot d\phi =\frac{4F{R}^2}{f{l}_0}{\sin }^4\frac{\alpha }{2}dl=\frac{4F{R}^3}{f{l}_0}{\sin }^4\frac{\alpha }{2}d\alpha .$$

В отличие от предыдущего случая, кручение проволоки неоднородно. Интегрируя по всей длине пружины и считая число витков целым, получим
$$x=\frac{3}{4}\frac{F{R}^2}{f}.$$