1. Если система состоит из одной материальной точки, то момент импульса имеет простой геометрический смысл. Пусть в момент времени $t$ положение материальной точки определяется радиусом-вектором $\mathbf{r}$ (рис. 57). За время $d t$ радиус-вектор получает приращение $\mathbf{v} d t$, описывая площадь бесконечно малого треугольника, заштрихованного на рис. 57. Площадь этого треугольника можно изобразить вектором
\[
d \mathbf{S}=\frac{1}{2}[\mathbf{r v}] d t,
\]

Рис. 57
длина которого представляет рассматриваемую площадь, а направление перпендикулярно к плоскости треугольника. Производная
\[
\dot{\mathbf{S}}=\frac{d \mathbf{S}}{d t}=\frac{1}{2}[\mathbf{r v}]
\]

определяет площадь, описываемую радиусом-вектором в единицу времени. Она называется секториальной скоростью. Так как по определению $\mathbf{L}=m[\mathbf{r v}]$, то
\[
\mathbf{L}=2 m \dot{\mathbf{S}} .
\]

При нерелятивистских движениях масса $m$ постоянна, а потому момент импульса $\mathbf{L}$ пропорционален секториальной скорости $\dot{\mathbf{S}}$.
2. Если сила, действующая на материальную точку, центральная и ее направление проходит через полюс $O$, то вектор $\mathbf{L}$ не будет меняться во времени. В случае нерелятивистских движений не будет меняться и секториальная скорость $\dot{\mathbf{S}}$. В этом случае закон сохранения момента импульса переходит в закон площадей:
\[
\dot{\mathbf{S}}=\text { const. }
\]

Из этого уравнения вытекают два следствия. Во-первых, плоскость, в которой лежат векторы $\mathbf{r}$ и $\mathbf{v}$, перпендикулярна к направлению вектора $\dot{\mathbf{S}}$. А так как последнее направление остается неизменным, то будет неизменной и указанная плоскость. Это значит, что траектория материальной точки в поле центральных сил есть плоская кривая. Во-вторых, из постоянства длины вектора $\dot{\mathbf{S}}$ следует, что в равные времена радиус-вектор материальной точки описывает одинаковые по размеру площади. Это положение часто называют законом площадей. Мы предпочитаем, однако, придавать закону площадей более широкий смысл, характеризуя площадь не только размером, но и ее ориентацией в пространстве.

Справедливо и обратное утверждение. Если траектория материальной точки — плоская кривая и радиус-вектор, проведенный из неподвижного полюса $O$, в равные времена описывает одинаковые площади, то направление действующей силь все время проходит через полюс $O$. Действительно, условие теоремы эквивалентно утверждению, что секториальная скорость $\dot{\mathbf{S}}$ есть постоянный вектор. Будет постоянен и момент импульса $\mathbf{L}$.

Поэтому на основании (30.4) $\dot{\mathbf{L}}=\mathbf{M}=[\mathrm{rF}]=0$. Отсюда следует, что вектор $\mathbf{F}$ коллинеарен радиусу-вектору $\mathbf{r}$, а следовательно, его направление все время проходит через точку $O$. Последняя является, таким образом, силовым центром, из которого должны исходить силы притяжения или отталкивания, действующие на материальную точку.
3. Теорема площадей справедлива не только в случае неподвижного силового центра. Пусть две материальные точки взаимодействуют между собой центральными силами. Применяя понятие приведенной массы, можно свести задачу об их относительном движении к задаче о движении одной точки в силовом поле неподвижного силового центра (см. § 20). В качестве такого силового центра можно принять любую из рассматриваемых материальных точек, относительно которой движется другая точка. Тогда радиус-вектор, проведенный от первой точки ко второй, будет в относительном движении описывать в равные времена равные площади.