Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
1. Если система состоит из одной материальной точки, то момент импульса имеет простой геометрический смысл. Пусть в момент времени $t$ положение материальной точки определяется радиусом-вектором $\mathbf{r}$ (рис. 57). За время $d t$ радиус-вектор получает приращение $\mathbf{v} d t$, описывая площадь бесконечно малого треугольника, заштрихованного на рис. 57. Площадь этого треугольника можно изобразить вектором
\[
d \mathbf{S}=\frac{1}{2}[\mathbf{r v}] d t,
\]
Рис. 57
длина которого представляет рассматриваемую площадь, а направление перпендикулярно к плоскости треугольника. Производная
\[
\dot{\mathbf{S}}=\frac{d \mathbf{S}}{d t}=\frac{1}{2}[\mathbf{r v}]
\]
определяет площадь, описываемую радиусом-вектором в единицу времени. Она называется секториальной скоростью. Так как по определению $\mathbf{L}=m[\mathbf{r v}]$, то
\[
\mathbf{L}=2 m \dot{\mathbf{S}} .
\]
При нерелятивистских движениях масса $m$ постоянна, а потому момент импульса $\mathbf{L}$ пропорционален секториальной скорости $\dot{\mathbf{S}}$.
2. Если сила, действующая на материальную точку, центральная и ее направление проходит через полюс $O$, то вектор $\mathbf{L}$ не будет меняться во времени. В случае нерелятивистских движений не будет меняться и секториальная скорость $\dot{\mathbf{S}}$. В этом случае закон сохранения момента импульса переходит в закон площадей:
\[
\dot{\mathbf{S}}=\text { const. }
\]
Из этого уравнения вытекают два следствия. Во-первых, плоскость, в которой лежат векторы $\mathbf{r}$ и $\mathbf{v}$, перпендикулярна к направлению вектора $\dot{\mathbf{S}}$. А так как последнее направление остается неизменным, то будет неизменной и указанная плоскость. Это значит, что траектория материальной точки в поле центральных сил есть плоская кривая. Во-вторых, из постоянства длины вектора $\dot{\mathbf{S}}$ следует, что в равные времена радиус-вектор материальной точки описывает одинаковые по размеру площади. Это положение часто называют законом площадей. Мы предпочитаем, однако, придавать закону площадей более широкий смысл, характеризуя площадь не только размером, но и ее ориентацией в пространстве.
Справедливо и обратное утверждение. Если траектория материальной точки – плоская кривая и радиус-вектор, проведенный из неподвижного полюса $O$, в равные времена описывает одинаковые площади, то направление действующей силь все время проходит через полюс $O$. Действительно, условие теоремы эквивалентно утверждению, что секториальная скорость $\dot{\mathbf{S}}$ есть постоянный вектор. Будет постоянен и момент импульса $\mathbf{L}$.
Поэтому на основании (30.4) $\dot{\mathbf{L}}=\mathbf{M}=[\mathrm{rF}]=0$. Отсюда следует, что вектор $\mathbf{F}$ коллинеарен радиусу-вектору $\mathbf{r}$, а следовательно, его направление все время проходит через точку $O$. Последняя является, таким образом, силовым центром, из которого должны исходить силы притяжения или отталкивания, действующие на материальную точку.
3. Теорема площадей справедлива не только в случае неподвижного силового центра. Пусть две материальные точки взаимодействуют между собой центральными силами. Применяя понятие приведенной массы, можно свести задачу об их относительном движении к задаче о движении одной точки в силовом поле неподвижного силового центра (см. § 20). В качестве такого силового центра можно принять любую из рассматриваемых материальных точек, относительно которой движется другая точка. Тогда радиус-вектор, проведенный от первой точки ко второй, будет в относительном движении описывать в равные времена равные площади.