1. Уравнение, выражающее закон Ньютона,
$$m\mathbf{a}=\mathbf{F},$$

отчетливо показывает, что этот закон не может быть справедлив в любой системе отчета. Действительно, ускорение а, вообще говоря, имеет разные значения в различных системах отсчета, движущихся относительно друг друга с ускорением. Сила же $\mathbf{F}$ не может зависеть от выбора системы отсчета, так как она определяется только взаимными расположениями и относительными скоростями материальных точек системы, а эти величины согласно нерелятивистской кинематике от выбора системы отсчета не зависят. Отсюда следует, что если второй закон Ньютона справедлив в какой-либо системе отсчета, то он не может оставаться справедливым в другой системе отсчета, движущейся относительно первой с ускорением.
2. Допустим, что система отсчета $S$ инерциальна. Рассмотрим вторую систему отсчета $S^{\prime }$, движущуюся относительно первой поступательно с постоянной скоростью V. Пусть известно движение материальной точки в одной из этих систем, например в системе $S$. Как найти движение той же точки в системе $S^{\prime }$ ? Задача в дорелятивистской ее постановке сводится к нахождению формул, выражающих координаты $x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime }$ движущейся точки в системе $S^{\prime }$ через ее координаты $x,y,z$ в системе $S$ в один и тот же момент времени.

Начало координат и направление координатных осей можно выбрать произвольно как в системе $S$, так и в системе $S^{\prime }$. Если координатные системы неподвижны друг относительно друга и отличаются друг от друга только положениями начал и направлениями координатных осей, то преобразование координат есть чисто геометрическая задача. Ее решение известно из аналитической геометрии.

Остается только выяснить, что нового вносит в вопрос о преобразовании координат движение одной системы отсчета относительно другой? Для простоты можно принять, что координатные оси $X^{\prime },Y^{\prime },Z^{\prime }$ соответственно параллельны координатным осям $X,Y,Z$ и что в начальный момент времени $t=0$ начало $O^{\prime }$ совмещается с началом $O$. Кроме того, можно считать, что скорость $\mathbf{V}$ параллельна оси $X$. При этих условиях ось $X^{\prime }$ все время будет совпадать с осью $X$.

Такие упрощения в постановке задачи не лишают ее общности, поскольку переход к общим формулам может быть совершенен дополнительным переносом начал координат и поворотом координатных осей.

Пусть в момент времени $t$ движущаяся точка находится в положении $M$ (рис. 26). Тогда $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{O{O}^{\prime }}+\overrightarrow{O^{\prime }M}$. За время $t$ начало координат системы $S^{\prime }$ переходит из положения $O$ в положение $O^{\prime }$, причем $\overrightarrow{O{O}^{\prime }}=\mathbf{v}t$. Ввиду этого предыдущее соотношение принимает вид
$$\mathbf{r}={\mathbf{r}}^{\prime }+\mathbf{V}{t}^{\prime },t=t^{\prime },$$

где $\mathbf{r}=\overrightarrow{OM},{\mathbf{r}}^{\prime }=\overrightarrow{O^{\prime }M}-$ радиусы-векторы движущейся точки в системах $S$ и $S^{\prime }$ соответственно. Запишем соотношение (15.2) в проекциях на координатные оси:
$$x=x^{\prime }+\mathbf{V}{t}^{\prime },y=y^{\prime },z=z^{\prime },t=t^{\prime }.$$

Формулы обратного преобразования имеют вид
$${\mathbf{r}}^{\prime }=\mathbf{r}-\mathbf{V}t,t^{\prime }=t,$$

или в координатной форме
$$x^{\prime }=x-\mathbf{V}t,y^{\prime }=y,z^{\prime }=z,t^{\prime }=t.$$

Эти формулы и дают решение поставленной задачи. Они называются преобразованием Галилея. Мы присоединили к формулам преобразования координат дополнительную формулу $t^{\prime }=t$, чтобы явно отметить, что в нерелятивистской кинематике время считается абсолютным, а потому не преобразуется.
С точки зрения «здравого смысла» преобразование Галилея кажется самоочевидным. Однако в основе его вывода лежит предположение дорелятивистской кинематики об абсолютности длин и промежутков времени. Абсолютность времени явно отмечена в уравнении $t=t^{\prime }$. При выводе остальных формул использовано предположение об абсолютности длин. ДейстРис. 26 вительно, формулы (15.2), (15.3) и (15.4) были бы самоочевидными, если

бы радиусы-векторы $\mathbf{r}$ и ${\mathbf{r}}^{\prime }$, а с ними и все координаты $x,y,z,x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime }$ измерялись в одной и той же системе отсчета, например $S$. Но в действительности формулы предполагают, что «нештрихованные» величины $\mathbf{r},x,y,z$ измеряются в системе $S$, а «штрихованные» ${\mathbf{r}}^{\prime },x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime }$ — в системе $S^{\prime }$. По этой причине при выводе формул преобразования Галилея без предположения абсолютности расстояний и промежутков времени обойтись нельзя. Релятивистская физика отказалась от такой абсолютности. Преобразование Галилея она заменила преобразованием Лорениа (по имени ирландского физика-теоретика Лоренца (1853-1928)). Этот вопрос будет подробно рассмотрен при изложении теории относительности (см. т. IV). Сейчас достаточно отметить, что преобразование Галилея является предельным случаем преобразования Лоренца и получается из последнего, когда скорость $V$ пренебрежимо мала по сравнению со скоростью света в вакууме. При изучении «медленных движений» $(V^2/c^2\ll 1)$ можно пользоваться преобразованием Галилея. В случае «быстрых движений» этого делать нельзя.
3. Дифференцируя соотношение (15.2) по времени $t$, получим
$$\frac{d\mathbf{r}}{dt}=\frac{d{\mathbf{r}}^{\prime }}{dt}+\mathbf{V}=\frac{d{\mathbf{r}}^{\prime }}{d{t}^{\prime }}+{\mathbf{V}}^{\prime },$$

или
$$\mathbf{v}={\mathbf{v}}^{\prime }+\mathbf{v},$$

где $\mathbf{v}$ — скорость точки в системе $S$, а ${\mathbf{v}}^{\prime }$ — в системе $S^{\prime }$. Эта формула выражает нерелятивистский закон сложения скоростей (в физическом смысле). Она выведена здесь в предположении, что скорость V постоянна. Но формула верна и в случае, когда скорость $\mathbf{V}$ не постоянна. Однако для целей настоящего параграфа достаточно скорость $\mathbf{V}$ считать величиной постоянной.

Дифференцируя второй раз в предположении постоянства $\mathbf{V}$, получим
$$\frac{dv}{dt}=\frac{d{v}^{\prime }}{dt}=\frac{d{v}^{\prime }}{d{t}^{\prime }},$$

или
$$\mathbf{a}={\mathbf{a}}^{\prime }.$$

Здесь а — ускорение точки в системе $S$, а a’ — ускорение той же точки в системе $S^{\prime }$. Таким образом, ускорение в обеих системах отсчета одно и то же. Говорят, что ускорение инвариантно относительно преобразования Галилея.

Свободная материальная точка движется в системе $S$ без ускорения, так как по предположению система $S$ инерциальна. Формула (15.7) показывает, что ее движение в системе $S^{\prime }$ будет также неускоренным. Следовательно, система $S^{\prime }$ — тоже инерциальная система отсчета. Таким образом, система отсчета, движущаяся прямолинейно и равномерно относительно инерциальной системы, сама является инерциальной системой отсчета. Если существует хотя бы одна инерциальная система отсчета, то существует и бесконечное множество инерциальных систем, движущихся друг относительно друга прямолинейно и равномерно. Сила является функцией только инвариантных величин: разностей координат и разностей скоростей взаимодействующих материальных точек. Поэтому она не меняется при переходе от одной системы отсчета к другой: $\mathbf{F}={\mathbf{F}}^{\prime }$. Иначе говоря, сила инварианта относительно преобразования Галилея. Так как ускорение инвариантно: $\mathbf{a}={\mathbf{a}}^{\prime }$, то из уравнения (15.1) следует
$$m{\mathbf{a}}^{\prime }={\mathbf{F}}^{\prime }.$$

Это уравнение выражает второй закон Ньютона в «штрихованной» системе отсчета $S^{\prime }$. Оно имеет такой же вид, что и в «нештрихованной» системе $S$. Уравнения, остающиеся неизменными при переходе от одной системы отсчета к другой, называются инвариантными. Таким образом, уравнения механики Ньютона инвариантны относительно преобразования Галилея. Это утверждение называется принциом относительности Галилея.
4. Принцип относительности Галилея утверждает полное равноправие всех инерциальных систем отсчета. Значит ли это, что одно и то же движение выглядит одинаково во всех инерциальных системах отсчета? Конечно, нет. Движение тела, свалившегося с полки равномерно движущегося вагона, является прямолинейным, если его рассматривать относительно вагона. Но то же движение происходит по параболе в системе отсчета, связанной с полотном железной дороги, хотя законы механики Ньютона одинаковы в обеих системах отсчета. Движение выглядит по-разному потому, что законы Ньютона выражаются дифференциальными уравнениями, а таких уравнений недостаточно, чтобы полностью определить движение. Для этого к дифференциальным уравнениям надо присоединить начальные условия — задать начальное положение тела и его начальную скорость. В приведенном примере дифференциальные уравнения движения тела одни и те же в обеих системах отсчета, однако начальные условия разные. В вагоне тело падает с полки с начальной скоростью, равной нулю. В системе отсчета, связанной с полотном железной дороги, то же тело имеет начальную скорость в горизонтальном направлении, равную скорости поезда. Этим и объясняется различный характер движения в обеих системах отсчета. Для того чтобы движение получилось одинаковым, надо в обеих системах отсчета создать одинаковые начальные условия. Это надо понимать в следующем смысле.

Допустим, что имеются две замкнутые системы тел — две большие лаборатории, движущиеся относительно друг друга прямолинейно и равномерно. Каждая из лабораторий может служить системой отсчета. Пусть эти системы инерциальны. Предположим, что обе лаборатории совершенно тождественны, т. е. состоят из одного и того же набора одинаковых тел и оборудованы совершенно одинаково. Явления, происходящие внутри лабораторий, не зависят от того, что происходит в окружающем внешнем мире, так как по предположению лаборатории являются замкнутыми системами. Принцип относительности Галилея утверждает, что основные механические законы, которыми определяются изменения состояния движения тел, в обеих лабораториях одни и те же. Под основными механическими законами здесь понимаются законы, однозначно определяющие движение системы по начальным условиям, в которых она находилась, т. е. по значениям координат и скоростей всех материальных точек системы в произвольный момент времени, условно принимаемый за начальный. Если в обеих лабораториях создать одинаковые начальные условия для всех без исключения тел, то все последующие движения их будут протекать совершенно одинаково в обеих лабораториях. Именно в таком смысле понимал принцип относительности сам Галилей. Он писал:
«Уединитесь с каким-нибудь приятелем в просторное помещение под палубой большого корабля и пустите туда мух, бабочек и других подобных мелких летающих насекомых. Пусть там находится также большой сосуд с водой и плавающими в нем рыбками. Подвесьте далее наверху ведерко, из которого капля за каплей вытекала бы вода в другой сосуд с узким горлышком, подставленный внизу. Пока корабль стоит неподвижно, наблюдайте старательно, как мелкие летающие живые существа с одной и той же скоростью летают во всех направлениях внутри помещения. Рыбки, как вы увидите, будут плавать безразлично во все стороны. Все падающие капли будут попадать в подставленный сосуд. Бросая приятелю какую-нибудь вещь, вам не придется применять бо́льшую силу, чтобы бросить ее в одну сторону, чем в другую, если только вещь бросается на одни и те же расстояния. Прыгая двумя ногами, вы сделаете прыжок на одно и то же расстояние, независимо от его направления. Наблюдайте хорошенько за всем этим, хотя у нас не возникает никакого сомнения в том, что пока корабль остается неподвижным, все должно происходить именно так. Пусть теперь корабль приведен в движение с какой угодно скоростью. Если движение будет равномерным и без качки в ту и другую сторону, то во всех указанных явлениях вы не обнаружите ни малейшего изменения и ни по одному из них вы не сможете установить, движется ли корабль или стоит на месте».

Далее Галилей повторяет, как будут протекать на движущемся корабле все явления, описанные выше. Он замечает, в частности, что если бросить с одинаковой силой (надо было сказать — с одинаковой скоростью относительно корабля) один и тот же предмет сначала к корме, а затем к носу корабля, то в первом случае предмет пройдет относительно пола корабля не большее расстояние, чем во втором, хотя за время, пока предмет находится в воздухе, пол движущегося корабля успеет переместиться на значительное расстояние навстречу предмету. Аналогичные замечания делаются им и в отношении остальных явлений. Отмечая независимость всех явлений, наблюдаемых в закрытом помещении под палубою корабля, от равномерного движения последнего, Галилей приходит к следующему выводу:
«Причина согласованности всех этих явлений в том, что движение корабля обще всем находящимся в нем предметам, так же как и воздуху. Поэтому-то я и сказал, что вы должны находиться под палубой».
5. Было бы неправильно давать принципу относительности следующую формулировку: «Если в двух различных инерциальных системах отсчета в начальный момент времени все без исключения тела и объекты Вселенной поставить в совершенно одинаковые условия, то в дальнейшем в обеих системах отсчета все явления будут протекать совершенно одинаково». Такое утверждение бессодержательно и не может выражать никакого физического закона. Действительно, если две системы отсчета движутся одна относительно другой, то все без исключения тела Вселенной не могут в один и тот же момент времени находиться в них в совершенно одинаковых условиях: скорости одних и тех же тел в этих двух системах отсчета будут разными. Поэтому предпосылка, о которой говорится в приведенной (неправильной) формулировке, не может быть выполнена, поскольку она имеет в виду все без исключения тела Вселенной. Принцип относительности (в правильной формулировке) является нетривиальным физическим законом потому, что в нем речь идет не о явлениях во всей Вселенной, а о явлениях внутри конечных замкнутых систем и систем, находящихся в неизменных внешних условиях. Примером может служить закрытое помещение на корабле, о котором говорил Галилей. Помещение должно быть закрыто. Иначе явления, в нем происходящие, зависели бы от скорости ветра, меняющейся с изменением скорости движения корабля. Такое помещение все же не является вполне замкнутой системой. Тела, в нем находящиеся, подвержены внешним явлениям: на них действует поле силы тяжести Земли. Однако это поле одно и то же, независимо от того, движется корабль равномерно или стоит на месте. Поэтому закрытое помещение с находящимися в нем телами ведет себя так же, как замкнутая система, хотя оно и находится во внешнем поле тяжести.

Принцип относительности иногда формулируют еще так: «Законы природы одинаковы во всех инерциальных системах отсчета». Недостаток этой формулировки состоит в том, что «одинаковость законов природы» может быть истолкована в смысле одинаковости протекания одного и того же явления во всех инерциальных системах отсчета. Это, как подробно разъяснено выше, неверно. Характер протекания физических явлений определяется не только основными законами природы, но и значениями параметров, определяющих начальные условия, в которых находилась система. Чтобы не возникло подобных неверных представлений, лучше говорить не просто о «законах природы», а по примеру Эйнштейна о «законах, по которым происходят изменения состояний физических систем», формулируя принцип относительности следующим образом:

Законы природы, по которым изменяются состояния физических систем, не зависят от того, к какой из инерииальных систем отсчета относятся эти изменения.

Эта формулировка является более общей, чем прежняя, в которой говорилось об инвариантности законов Ньютона относительно преобразования Галилея. Во-первых, здесь идет речь об инвариантности всех физических законов, а не только законов механики, каковыми являются законы Ньютона. Во-вторых, здесь не указан конкретный вид преобразований координат и времени, относительно которых законы природы инвариантны. Такие преобразования надо найти из самого принципа относительности и некоторых дополнительных соображений. Именно так в теории относительности получаются преобразования Лоренца, о которых было упомянуто выше. Законы природы инвариантны относительно преобразования Лоренца. Принцип относительности в такой формулировке называется принципом относительности Эйнштейна. О нем будет идти речь в т. IV нашего курса.