1. Общие законы движения Ньютон сформулировал с использованием понятия cuль. Представление о силе возникает в связи с ощущением мускульного усилия, которое у нас возникает при поднятии тяжелых тел или при приведении их в движение. Но всякое ощущение слишком неопределенно и субъективно. Оно может дать только интуитивное представление о силе, но не может служить основанием для точного определения этой величины, равно как и для всякого другого научного понятия. Под силой в механике понимают всякую причину, изменяюшую импульс движущегося тела. Это определение также недостаточно, так как оно чисто качественное. Количественное определение можно дать на основе следующего факта, являющегося обобщением опытных фактов.

В инерциальной системе отсчета производная импульса р материальной точки по времени представляется уравнением
\[
\dot{\mathbf{p}}=\frac{d \mathbf{p}}{d t} \equiv \frac{d}{d t}(m \mathbf{v})=\mathbf{F},
\]

или для медленных движений (когда массу $m$ можно считать не зависящей от скорости v)
\[
\begin{array}{l}
m \dot{\mathbf{v}}=\mathbf{F}, \\
m \ddot{\mathbf{r}}=\mathbf{F} .
\end{array}
\]

Здесь $\mathbf{F}$ однозначно определяется свойствами рассматриваемой материальной точки и окружающих ее тел, а также положениями и скоростями этих тел относительно материальной точки. Величина $\mathbf{F}$ называется силой, действующей на рассматриваемую материальную точку. В частных случаях сила $\mathbf{F}$ может определяться одним только положением материальной точки или только одной ее скоростью, но по самому смыслу в механике Ньютона она не может явно зависеть от ускорения этой точки. Очевидно, сила $\mathbf{F}$ есть вектор, поскольку она равна производной вектора $\mathbf{p}$ по времени. Отсюда следует, что сложение сил подчиняется правилу параллелограмма.

Таким образом, в инерииальной системе отсчета производная импульса материальной точки по времени равна действующей на нее силе. Это утверждение называется вторым законом Ньютона, а соответствующие ему уравнения – уравнениями движения материальной точки. В случае системы материальных точек уравнения движения должны быть написаны для каждой из них и учтено их взаимодействие между собой. Следует, однако, иметь в виду, что второй закон Ньютона только тогда имеет смысл закона, а не определения понятия силы, когда в нем сила $\mathbf{F}$ определена не по сообщаемому ей действию (т. е. не по ускорению или изменению импульса тела), а другим независимым способом (именно, по расположению и движению окружающих тел).

Конечно, если движение тела (материальной точки) известно, т. е. известны ее координаты как функции времени $t$, то простым дифференцированием по $t$ можно определить величину действующей силы как функцию того же времени. Однако природа силы может считаться установленной только тогда, когда будет выяснено, как эта сила зависит от состояния (положения и скоростей) окружающих тел.
2. Приведем простейший пример, ограничиваясь ради простоты одномерным движением материальной точки.

Подвесим тело на спиральной пружине (рис. 21). Когда система успокоится, немного оттянем тело вниз из положения равновесия, а затем отпустим. Возникнут колебания вверх и вниз. При подходящих параметрах системы они будут затухать слабо. Тело успеет совершить несколько десятков колебаний, прежде чем колебания заметно затухнут.
Рис. 21
Мгновенное положение тела можно характеризовать одной координатой $x$ – смещением тела из положения равновесия. Для определения функции $x=x(t)$ можно через малые промежутки времени фотографировать тело на кинопленку, а затем обработать фотографию и построить график $x=x(t)$. Можно поступить и как-нибудь иначе. Для слабо затухающих колебаний график почти не отличается от синусоиды (рис. 22) и представляется уравнением
\[
x=A \cos \frac{2 \pi t}{T},
\]

где $A$ и $T$ – постоянные, называемые амплитудой и периодом колебаний. Дважды дифференцируя это выражение, находим скорость и ускорение:
\[
\dot{x}=-\frac{2 \pi A}{T} \sin \frac{2 \pi t}{T}, \ddot{x}=-\left(\frac{2 \pi}{T}\right)^{2} A \cos \frac{2 \pi t}{T} .
\]

Сравнивая, последнее выражение с (11.4), получаем
\[
\ddot{x}=-\left(\frac{2 \pi}{T}\right)^{2} x,
\]

или после умножения на массу тела
\[
\ddot{m} x=-k x,
\]

где введено обозначение
\[
k=\left(\frac{2 \pi}{T}\right)^{2} m .
\]

Сравнивая (11.5) с (11.3), находим силу
\[
F=-k x .
\]

Мы видим, что величина $F$ зависит только от удлинения пружины $x$ – единственного переменного параметра, определяющего положения внешних тел, оказывающих действие на рассматриваемое тело. Если к пружине подвесить тело другой массы, то изменится и период колебаний $T$. Однако опыт показывает, что отношение $m / T^{2}$, а с ним и коэффициент $k$ остаются без изменения. Значит, сила $F$ определяется только растяжением пружины и совершенно не зависит от того, каким телом это растяжение вызвано. Эти опытные факты могут служить подтверждением второго закона Ньютона. СледоРис. 22 вательно, можно ожидать, что если, кроме пружины, на тело больше ничто не действует, то его ускорение всегда будет равно $k x / m$ и направлено вдоль оси пружины в сторону, противоположную ее удлинению $x$. Оно совершенно не зависит от того, как движется тело: прямолинейно, по кругу или как-нибудь иначе. Это предположение также подтверждается опытами.

Одновременно мы видим, что сила натяжения пружины $F$ пропорциональна ее удлинению $x$. Как показали более точные исследования, этот результат является приближенным. Им можно пользоваться, когда удлинение пружины не очень велико. Он называется законом Гука (по имени английского физика Роберта Гука (16351703)). Величина $k$ называется жесткостью пружины (коэффициентом жесткости). Для конкретной пружины жесткость постоянна, но может меняться от пружины к пружине.

Необходимо сделать два замечания относительно приведенного примера. Во-первых, силу $F$ можно было бы найти исключением времени из двух уравнений (11.4). Таким путем величина $F$ была бы выражена как функция координаты $x$ и скорости $\dot{x}$. Уравнение (11.2), конечно, было бы удовлетворено, но так найденное выражение для $F$ содержало бы в качестве параметра также амплитуду $A$, и чтобы уравнение (11.2) удовлетворялось, амплитуда $A$ должна иметь уже определенное значение. При той же пружине и массе $m$, но другой амплитуде $A$ уравнение (11.2) не удовлетворялось бы. Это значит, что при заданных $k$ и $m$ и найденном значении $F$ уравнение (11.2) описывало бы только вполне определенный частный вид движения. Между тем требуется получить такое выражение для $F$, которое не содержало бы параметра $A$. Тогда уравнение (11.2) будет описывать все движения, возможные при заданных $k$ и m (т. е. движения с произвольной амплитудой $A$ ).

Во-вторых, каждой силе $F$ соответствует определенное удлинение пружины. Получается проградуированная пружина, которую можно использовать для измерения сил в различных случаях. Описанный способ градуировки, основанный на втором законе Ньютона, принципиально возможен, но практически для градуировки пружины к ней подвешивают грузы различного веса и измеряют соответствующие удлинения. Нет необходимости описывать, как этим способом градуируются различные динамометры и как ими пользуются. Важно подчеркнуть, что при наличии динамометра можно независимо измерить силу и ускорение и проверить справедливость второго закона Ньютона.

Опыт показывает, что колебания тела, подвешенного на пружине, постепенно затухают и в конце концов прекращаются. Отсюда следует, что уравнение движения (11.5) является приближенным. Оказывается, что тело, движущееся в газообразной или жидкой среде, встречает сопротивление, зависящее от скорости тела. Если скорость тела (относительно окружающей среды) не очень велика, то эта сила приблизительно пропорциональна первой степени скорости. Так, в случае шара на пружине затухание его колебаний в газе довольно точно описывается уравнением
\[
m \ddot{x}=-k x-b \dot{x}, где $b$ – постоянный коэффициент, зависящей от размеров шара и рода газа, в котором он колеблется. Здесь мы имеем пример силы, которая зависит не только от положения, но и от скорости шара.
3. Для решения задач на движение материальных точек и их систем нужны дифференциальные уравнения движения. Способ получения таких уравнений не имеет значения. В частности, их можно было бы получать и строить всю механику без введения понятия силы.

При рассмотрении различных динамических задач механика ставит и решает два вопроса: 1) по заданному движению тел вычислить силы, действующие на них; 2) по заданным силам определить движение тел. Задачи первого типа сравнительно просты. Они сводятся к вычислению ускорений материальных точек, из которых состоит система. Примером таких задач может служить разобранная нами задача о силе, действующей на колеблющееся тело, подвешенное на пружине. Задачи второго типа много сложнее и являются основными в механике. Здесь прежде всего надо написать уравнение движения для каждой материальной точки, входящей в систему. Это сводится к отысканию сил как функций координат и скоростей взаимодействующих точек. В результате получится система дифференциальных уравнений, решение которой (при определенных начальных условиях) даст полное представление о всех деталях движения. Таким образом, при решении таких задач требуется интегрирование дифференциальных уравнений, а это значительно сложнее дифференцирования.

Могут быть и задачи смешанного типа. Сюда относятся, например, такие задачи, когда на движение системы наложены определенные ограничения, например движущаяся точка должна находиться на какой-то линии или поверхности. Такого рода ограничения называются связями. Действие таких линий или поверхностей, как и всяких связей, ограничивающих свободу движения, сводится к тому, что они воздействуют на движущиеся тела с определенными силами, называемыми реакциями связей. Во всех подобных случаях задача сводится не только к определению движения каждой материальной точки системы, но и к нахождению реакций связей.
4. Остановимся на вопросе о соотношении между первым и вторым законами Ньютона. Если в уравнении (11.1) положить $\mathbf{F}=0$, то получится $\frac{d \mathbf{p}}{d t}=0$. Отсюда следует, что $\mathbf{p}=\mathrm{const}$, т. е. импульс, а с ним и скорость свободно движущейся материальной точки постоянны. Таким образом, формально первый закон Ньютона является следствием второго. Почему же тогда он выделяется в самостоятельный закон? Дело в том, что уравнение (11.1), выражающее второй закон Ньютона, только тогда имеет смысл, когда указана система отсчета, в которой оно справедливо. Выделить же такую систему (или такие системы) отсчета позволяет первый закон. Он утверждает, что существует система отсчета, в которой свободная материальная точка движется без ускорения. В такой системе отсчета (и в этом состоит второй закон) движение всякой материальной точки подчиняется уравнению (11.1). Таким образом, по существу, первый закон нельзя рассматривать как простое логическое следствие второго. Связь между этими законами более глубокая.
5. Уравнение (11.2) предопределяет выбор единицы силы. Поскольку единицы длины, массы и времени уже установлены, это уравнение вынуждает нас за единицу силы принять такую силу, которая единице массы сообщает ускорение, равное единице. В 1960 г. XI Генеральная конференция по мерам и весам приняла так называемую Международную систему единии, SI (в русской транскрипции СИ). В основу этой системы положены семь независимых единиц: единица длины метр (м), единица времени секунда (с), единица массы килограмм (кг), единица разности температур кельвин (К), единица силы тока ампер (А), единица силы света кандела (кд) и единица количества вещества моль (моль). Остальные единицы являются их производными. Смысл термина «производная единица» легко уясняется на примере единицы силы. В системе СИ за единицу силы принимается ньютон ( $\mathrm{H}$ ). Ньютон – эта такая сила, которая массе в 1 кг сообщает ускорение в 1 м/ $\mathrm{c}^{2}$. Наряду с системой СИ в физике широко употребляется система СГС. Основными единицами в этой системе являются: сантиметр (см) – единица длины, секунда (с) – единица времени, грамм (г) – единица массы. Единицей силы в системе СГС является дина (дин). Дина есть сила, сообщающая массе в 1 г ускорение $1 \mathrm{~cm} / \mathrm{c}^{2}$. Очевидно,
\[
1 \mathrm{H}=10^{5} \text { дин. }
\]

В механике обе системы одинаково удобны. Ни одна из них не обладает преимуществом по сравнению с другой, так как между ними нет разницы по существу. Обе системы в механике отличаются друг от друга только масштабами основных единиц – единицы длины и единицы массы. Все понятия механики имеют один и тот же смысл, а формулы пишутся совершенно одинаково в обеих системах единиц. Не так обстоит дело в учении об электрических, оптических и атомных явлениях. Для изучения таких явлений система СГС значительно лучше приспособлена, чем система СИ. Поэтому в нашем курсе отдается предпочтение системе СГС.
6. В заключение этого параграфа остановимся на вопросе о сложении сил. Как уже было сказано выше, сила является вектором. Этим мы хотим сказать только то, что при повороте координатных осей составляющие силы преобразуются как составляющие вектора. Как и для всякого вектора, для силы можно ввести операцию сложения в математическом смысле (см. § 7). По определению каждым двум силам $\mathbf{F}_{1}$ и $\mathbf{F}_{2}$ приводится в соответствие новый объект, изображающийся диагональю параллелограмма, построенного на векто$\operatorname{pax} \mathbf{F}_{1}$ и $\mathbf{F}_{2}$. Этот объект, как легко доказать, является вектором. Он называется равнодействующей или результирующей сил $\mathbf{F}_{1}$ и $\mathbf{F}_{2}$ или их геометрической суммой. Проверять на опыте результат такого сложения имеет столько же смысла, что и проверять на опыте правильность арифметического равенства $2+3=5$. Результат верен по самому определению сложения векторов. Однако сложение сил понимают иногда и в другом (физическом) смысле. И именно о нем идет речь, когда в элементарной физике впервые говорят о сложении сил. При этом самый вопрос формулируется недостаточно ясно. Говорят, что на материальную точку одновременно действуют две силы $\mathbf{F}_{1}$ и $\mathbf{F}_{2}$. После этого спрашивают, какой одной силой $\mathbf{F}$ их можно заменить, чтобы получить тот же результат? Неясность заключается в том, что не указывается, в каком смысле следует понимать выражение: «На материальную точку одновременно действуют две силы». На всякую материальную точку в данных конкретных условиях действует всегда только одна сила, величина и направление которой определяется расположением этой точки относительно всех окружающих тел. Какой же смысл вкладывается в содержание поставленного вопроса? Разъясним это на двух примерах.

Допустим, что к некоторой материальной точке $A$ прикреплена растянутая пружина, которая тянет ее с некоторой силой $\mathbf{F}_{1}$. Уберем эту пружину и будем тянуть ту же материальную точку $A$ другой растянутой пружиной с силой $\mathbf{F}_{2}$. О направлении и модуле сил $\mathbf{F}_{1}$ и $\mathbf{F}_{2}$ мы судим по направлениям осей пружин и степени их растяжения. Прикрепим теперь к материальной точке $A$ обе пружины вместе, направив и растянув их по-прежнему. Вопрос заключается в том, чтобы определить силу $\mathbf{F}$, которая вызывает такое же движение точки, что и обе силы $\mathbf{F}_{1}$ и $\mathbf{F}_{2}$ вместе.

В качестве второго примера рассмотрим неподвижный точечный заряд $q$, помещенный в некоторой точке пространства $A$. Пусть в точках $B$ и $C$ находятся другие точечные заряды, $q_{1}$ и $q_{2}$. Пусть они вместе действуют на заряд $q$ с силой $\mathbf{F}$. Уберем второй из них и обозначим через $\mathbf{F}_{1}$ силу, с которой на $q$ будет действовать заряд $q_{1}$. Аналогично определяется сила $\mathbf{F}_{2}$, с которой заряд $q_{2}$ действует на $q$ в отсутствие заряда $q_{1}$. Вопрос опять заключается в том, как по силам $\mathbf{F}_{1}$ и $\mathbf{F}_{2}$ найти силу $\mathbf{F}$.

Пусть $\mathbf{F}_{i}$ означает силу, действующую на рассматриваемую материальную точку со стороны какого-то другого $i$-го тела (источника силы $\mathbf{F}_{i}$ ), когда все остальные источники сил удалены $(i=1,2, \ldots, n)$. Чему будет равна действующая сила $\mathbf{F}$, когда все $n$ источников действуют одновременно? Это физический вопрос, на который нельзя дать ответ путем определения. Обычно говорят, что сила $\mathbf{F}$ равна геометрической сумме сил $\mathbf{F}_{1}, \mathbf{F}_{2}, \ldots, \mathbf{F}_{n}$. Однако такой ответ не является логическим следствием законов Ньютона или какихлибо других законов. Он может быть верным, но может быть и неверным. Это может решить только опыт. Опыт показывает, например, что для растянутых пружин или электрических сил, возбуждаемых точечными зарядами, ответ верен. Если это имеет место, то говорят, что силы $\mathbf{F}_{1}, \mathbf{F}_{2}, \ldots$ подчиняются принципу суперпозиции. В основе принципа суперпозиции лежит представление о независимости действия сил. Говорят, что силы действуют независимо, если каждая сила $\mathbf{F}_{i}$ сообщает рассматриваемому телу одно и то же ускорение $\mathbf{a}_{i}$, независимо от того, действует только один $i$-й источник сил или все $n$ источников одновременно. Так как ускорение является вектором, то результирующее ускорение найдется векторным сложением всех $\mathbf{a}_{i}$. Поэтому и результирующая сила $\mathbf{F}=$ та также найдется векторным сложением независимо действующих сил $\mathbf{F}_{i}=$ та $\mathbf{a}_{i}$. Следовательно, применимость правила параллелограмма для сложения сил в рассматриваемом физическом смысле эквивалентна предположению о независимости действия сил. Но когда тела, являющиеся источниками сил, влияют друг на друга и вследствие этого меняют свое состояние, то результат вычисления силы $\mathbf{F}$ по указанной схеме может оказаться неверным. Это получится, например, когда во втором примере вместо точечных зарядов $q_{1}$ и $q_{2}$ взять протяженные тела, заряженные электричеством. При сближении таких тел распределение электричества на них изменится из-за индукции, а это отразится на значении действующей силы. Но и в этом случае можно воспользоваться принципом суперпозиции, если заряды на телах в их окончательных положениях мысленно разделить на достаточно малые части. Считая такие части точечными зарядами, можно вычислить создаваемые ими электрические поля по закону Кулона, а затем воспользоваться принципом суперпозиции. Такое утверждение следует рассматривать как обобщение опытных фактов.
ЗАдАчи
1. Лифт движется с ускорением $a=\alpha g$, причем $|\alpha|<1$. Зная вес покоящегося лифта $P$ (вместе с нагрузкой), определить во время ускоренного движения натяжение троса $T$, на котором он подвешен.

Ответ. $T=P(1-\alpha)$. Дробь $\alpha$ следует считать положительной, когда ускорение $a$ направлено вниз, и отрицательной, когда оно направлено вверх.
2. К пружине прикреплено тело, которое может смещаться вдоль определенной прямой (например, вдоль стержня, на который оно надето). Эта система может служить акселерометром, т. е. прибором для измерения ускорения тела, на котором такой прибор установлен (автомобиля, самолета, поезда и пр.). Опишите принцип действия такого акселерометра.
3. Самолет совершает вираж, двигаясь по окружности с постоянной скоростью $v$ на одной и той же высоте. Определить радиус $r$ этой окружности, если плоскость крыла самолета наклонена к горизонтальной плоскости под постоянным углом $\alpha$.
\[
\text { Ответ. } r=\frac{v^{2}}{g \operatorname{tg} \alpha} \text {. }
\]

Указание. Когда самолет летит прямолинейно, плоскость крыла горизонтальна. Подъемная сила в этом случае направлена вертикально вверх, т. е. перпендикулярна к плоскости крыла. При повороте корпуса самолета вокруг продольной оси подъемная сила поворачивается на тот же угол, т. е. продолжает оставаться перпендикулярной к плоскости крыла, так как силы взаимодействия самолета с окружающей средой зависят лишь от относительного движения самолета и среды.