§ 9. Уравнение в полных дифференциалах
Определение. Уравнение
называется уравнением в полных дифференциалах, если 
- непрерывные, дифференцируемые функции, для которых выполняется соотношение
причем и непрерывны в некоторой области.
Интегрирование уравнений в полных дифференциалах. Докажем, что если левая часть уравнения (1) есть полный дифференциал, то выполняется условие (2), и обратно — при выполнении условия (2) левая часть уравнения (1) есть полный дифференциал некоторой функции 
т. е. уравнение (1) имеет вид
и, следовательно, его общий интеграл есть 
Предположим сначала, что левая часть уравнения (1) есть полный дифференциал некоторой функции 
т. е.
тогда
Дифференцируя первое соотношение по у, а второе - по х, получим
Предполагая непрерывность вторых производных, будем иметь
т. е. равенство (2) является необходимым условием для того, чтобы левая часть уравнения (1) была полным дифференциалом некоторой функции и 
. Покажем, что это условие является и достаточным, т. е. что при выполнении равенства (2) левая часть уравнения 
есть полный дифференциал некоторой функции 
.
Из соотношения 
находим 
, где 
— абсцисса любой точки из области существования решения.
При интегрировании по 
мы считаем у постоянным и поэтому произвольная постоянная интегрирования может зависеть от у. Подберем функцию 
так, чтобы выполнялось второе из соотношений (4). Для этого продифференцируем обе части последнего равенства по у и результат приравняем 
но так как 
, то можем написать 
т. е.
Следовательно,
или
Таким образом, функция и 
будет иметь вид
Здесь 
точка, в окрестности которой существует решение дифференциального уравнения (1). Приравнивая это выражение произвольной постоянной С, получим общий интеграл уравнения (1):
Пример. Дано уравнение
Проверяем, не есть ли это уравнение в полных дифференциалах. Обозначим
тогда
Условие (2) при 
выполняется. Значит, левая часть данного уравнения есть полный дифференциал некоторой неизвестной функции 
. Найдем эту функцию.
Так как 
следовательно,
где 
- не определенная пока функция от у.
Дифференцируя это соотношение по у и учитывая, что
находим
следовательно,
Таким образом, общий интеграл исходного уравнения есть
