§ 16. Дифференциальные уравнения высших порядков (общие понятия)

Как уже указывалось выше (см. § 2), дифференциальное уравнение порядка символически можно записать в виде

или, если его можно разрешить относительно производной,

В настоящей главе мы будем рассматривать только такие уравнения высших порядков, которые можно разрешить относительно высшей производной. Для этих уравнений имеет место теорема о существовании и единственности решения, аналогичная соответствующей теореме о решении уравнения первого порядка. Теорема. Если в уравнении

функция и ее частные производные по аргументам у, непрерывны в некоторой области, содержащей значения

то существует и притом единственное решение уравнения, удовлетворяющее условиям

Эти условия называются начальными условиями. Доказательство этой теоремы выходит за рамки данной книги.

Если рассматривать уравнение второго порядка

то начальными условиями при для решения будут условия

где заданные числа. Геометрический смысл этих условий следующий: через заданную точку плоскости с заданным

тангенсом угла наклона касательной проходит единственная кривая. Из этого, далее, следует, что если мы будем задавать различные значения при постоянных то получим бесчисленное множество интегральных кривых с различными углами наклона, проходящих через заданную точку.

Введем теперь понятие общего решения уравнения порядка.

Определение. Общим решением дифференциального уравнения порядка называется функция

зависящая от произвольных постоянных и такая, что:

а) она удовлетворяет уравнению при любых значениях постоянных

б) при заданных начальных условиях

постоянные можно подобрать так, что функция будет удовлетворять этим условиям (предполагая, что начальные значения принадлежат области, где выполняются условия существования решения).

Соотношение вида неявно определяющее общее решение, называется общим интегралом дифференциального уравнения.

Всякая функция, получающаяся из общего решения при конкретных значениях постоянных называется частным решением. График частного решения называется интегральной кривой данного дифференциального уравнения.

Решить (проинтегрировать) дифференциальное уравнение порядка значит:

1) найти его общее решение (если начальные условия не заданы) или

2) найти то частное решение уравнения, которое удовлетворяет заданным начальным условиям (если таковые имеются).

В следующих параграфах будут изложены методы решения различных уравнений порядка.