2. Полный дифференциал функции

В предыдущем пункте мы рассмотрели пример, в котором приращение функции двух переменных было представлено в виде суммы двух слагаемых, линейного относительно и нелинейного, причем при нелинейная часть приращения стремилась к нулю быстрее, чем линейная. Подобным свойством обладают многие функции. Эти функции называются дифференцируемыми.

Определение. Функция называется дифференцируемой в точке , если ее полное приращение можно представить в следующем виде:

где — любые приращения соответствующих аргументов х и у в некоторой окрестности точки — постоянные (т. е. величины, не зависящие от ); -бесконечно малая более высокого порядка, чем расстояние между точками

Таким образом, если функция дифференцируема в данной точке, то согласно формуле (13), ее полное приращение в этой точке состоит из двух частей: главной части приращения линейной относительно , и нелинейной части а) более высокого порядка малости, чем главная часть приращения.

Определение. Главная часть приращения функции , линейная относительно называется полным дифференциалом этой функции и обозначается символом или .

Таким образом,

В выражении для дифференциала величины А и В не зависят от но зависят от точки , в которой этот дифференциал рассматривается. Иными словами, А и В являются функциями х и у. Вид этих функций устанавливается следующей теоремой.

Теорема.. Если функция в точке дифференцируема (т. е. имеет дифференциал , то она имеет в точке первые частные производные и причем

Доказательство. Так как по условию теоремы данная функция в точке дифференцируема, то ее полное приращение в этой точке выражается по формуле (13). Эта формула справедлива для любых достаточно малых . В частности, она остается справедливой, если

Но тогда приращение функции становится частным приращением , и формула (13) будет иметь следующий вид:

Разделив обе части этого равенства на и перейдя к пределу при , получим

Покажем, что . В самом деле, так как то Следовательно,

Таким образом, предел существует и равен А. Но и поэтому частная производная в точке существует и равна А. Аналогично можно показать, что частная производная в точке существует и равна В.

Заменяя теперь в формулах (13) и (14) А и В частными производными получим

Можно показать, что обратная теорема, вообще говоря, неверна, т. е. из существования частных производных не следует существование полного дифференциала. Однако если предположить, что частные производные не только существуют, но и непрерывны, то функция будет дифференцируемой. Иными словами, имеет место следующая теорема, доказательства которой мы не приводим.

Теорема. Если частные производные функции непрерывны в окрестности точки , то эта функция в точке дифференцируема.

Как и в случае функции одной переменной, для приращений независимых переменных введем следующие обозначения:

Тогда выражение для дифференциала примет следующий вид:

или

Всё сказанное легко распространяется на функции трех и большего числа переменных. Так, например, для дифференцируемой функции трех переменных полное приращение выражается формулой

при условии

а ее полный диффереициал имеет вид

Пример 1. Найти полный дифференциал функции в произвольной точке.

Решение. Полный дифференциал существует при условии непрерывности частных производных . Находим

Мы видим, что найденные частные производные являются непрерывными функциями во всей плоскости Поэтому дифференциал этой функции всюду существует, причем

Пример 2. Найти значение полного дифференциала функции

Решение. Находим частные производные

а затем и полный дифференциал

Теперь находим значение этого полного дифференциала при