Глава 1. ГРУППА ИЗОСПИНОВЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ SU(2)

Кварки были введены в физику элементарных частиц в начале 1964 г. Гелл-Манном [1] и Цвейгом [2]. Эта идея возникла из рассмотрения унитарной симметрии. Для того чтобы проследить за аргументами Гелл-Манна и Цвейга, полезно сделать краткий обзор простого и давно известного случая зарядовой независимости, или изоспиновой симметрии.

Для нестранных адронов (включающих все сильно взаимодействующие стабильные и нестабильные частицы) зарядовая независимость примерно соответствует гипотезе о том, что энергия их взаимодействия инвариантна относительно любого унитарного преобразования между состояниями нуклонного дублета , где Р — протон и — нейтрон. Иначе говоря, взаимодействия этих частиц инвариантны относительно группы изоспиновых преобразований Мы можем рассматривать Р и как базисные изоспиновые состояния, однако при более общем подходе мы обозначаем базисные состояния через и имеют такие же свойства относительно изоспиновых преобразований, как Р и но не обязательно совпадают с ними. Подобно Р и они образуют двумерный ковариантный изоспинор

который под действием операторов из группы преобразуется следующим образом:

где — унитарная матрица удовлетворяющая условию Любое изоспиновое вращение можно полностью охарактеризовать его действием на , согласно формуле (1.2). Дублет с изоспином

образует базис фундаментального представления изоспиновой группы

Кроме ковариантных спиноров, мы определяем контра-вариантные спиноры

которые под действием операторов преобразуются так, что остается инвариантным. (Везде подразумевается суммирование по повторяющимся индексам.) Так же как описывает изоспиновые трансформационные свойства базисных состояний, или «частиц», описывает трансформационные свойства дублета «античастиц»

Высшие изоспиновые мультиплеты можно построить, образуя прямые произведения спиноров или или тех и других. Например, рассмотрим систему, состоящую из одной частицы и одной античастицы. Мы получаем четыре состояния, которые можно записать в виде

Тензор имеет смешанные свойства относительно изоспиновых вращений. Это означает, что он не соответствует неприводимому представлению группы Однако" выбирая разумным образом линейные комбинации написанных выше состояний, мы можем так построить две системы ортонормированных состояний, что состояния в каждой системе при действии преобразуются друг через друга и тем самым образуют базис неприводимого представления, т. е. мультиплетп. Очевидно, одна из этих систем состоит из инварианта или изоскаляра а остальные состояния образуют триплет. Эти две системы состояний имеют вид

Отсюда видно, что прямое произведение двух изодублетов разбивается на изосинглет и изотриплет. Это можно

записать символически в виде

Через обладающие нулевой странностью, мы можем представить триплет пионов триплетом (1.56). Этот факт может означать две возможности. Либо фундаментальные объекты являются математическими объектами; тогда отождествление пионного триплета с (1.56) означает только, что пион имеет те же изоспиновые трансформационные свойства, что и комбинация (1.56), Либо объекты являются физическими частицами; тогда мы должны рассматривать пион как связанное состояние этих частиц. Например, отождествляя соответственно, мы приходим к модели Ферми — Янга [3]. В кварковой моделир являются нестранными компонентами кваркового триплета.

Аналогичным образом -мезон можно представить в этой модели синглетом (1.5а). Таким путем мы можем построить все нестранные адроны из наших строительных блоков и их античастиц. Предположение инвариантности механики системы относительно изоспиновых преобразований приводит к тому, что эти адроны распределяются по изоспиновым мультиплетам, каждый из которых характеризуется значением изоспина I. Если симметрия точная, то каждый мультиплет вырожден по массе. Электромагнитные силы, нарушающие изоспиновую симметрию, приводят к небольшому расщеплению масс внутри мультиплетов. Если найден какой-нибудь один член данного мультиплета, то все другие члены этого мультиплета также должны существовать.

Очевидно, с помощью такой процедуры нам никогда не удастся построить странные частицы. Для этого мы должны иметь по крайней мере еще один фундаментальный объект с ненулевой странностью. Это требование приводит к группе