§ 2. Состояния, принадлежащие октету

Октет барионов с состоит из трехкварковых состояний с в которых полный спин кварков равен 1/2. Барионы составлены из кварков, как показано в табл. 4. Их волновые функции определены формулой (5.6). Естественно предположить, что этот октет дополняет упомянутый выше -мультиплет 56, содержащий состояния декуплета Это предположение, по-видимому, оправдывается в эксперименте, в частности в его пользу говорит удивительно успешное предсказание отношения магнитных моментов протона и нейтрона, следующее из этой классификации (см. гл. 11). Тот факт, что трехкварковые состояния в мультиплете имеют гораздо меньшую массу, чем состояния в мультиплетах (до настоящего времени

последние два мультиплета экспериментально не наблюдались), должен объясняться в кварковой модели особым характером сил связи между кварками (гл. 7).

Если бы -симметрия была точной симметрией, то высказанное выше предположение означало бы, что пространственные волновые функции октета и декуплета одинаковы. В действительности симметрия лишь приближенно является -симметрией, и эти волновые функции могут быть неодинаковыми. Однако мы будем считать, что эти волновые функции обладают по крайней мере свойствами перестановочной симметрии, которые предписываются группой Это предположение означает, что, как и для частиц декуплета, пространственные волновые функции барионов антисимметричны. Более того, во многих приложениях мы дополнительно предполагаем, что эти волновые функции приближенно удовлетворяют условию [см. (5.11) и (5.12)].

Для получения той части волновых функций барионов, которая относится к спину и унитарному спину, мы можем поступить следующим образом. Рассмотрим в качестве примера протон со спином, направленным вверх Вспомним, что должна быть полностью симметричной. Спиновая и унитарно-спиновая части волновой функции протона в отдельности обладают смешанной симметрией. Как объединить три спина 1/2, чтобы получить полный спин 1/2? Один из способов состоит в том, что два кварка помещают в синглетное спиновое состояние и добавляют третий кварк со спином, направленным вверх. Такое сииглетное спиновое состояние описывается формулой

Чтобы получилась полностью симметричная комбинация, оба эти кварка должны находиться в антисимметричном состоянии по унитарному спину. В случае протона единственно возможная комбинация имеет вид

Добавляя третий кварк (р-кварк) со спином, направленным вверх, получаем

Множитель в скобках полностью симметричен относительно взаимной перестановки двух состояний, однако все выражение в целом не симметрично. Симметризация и нормировка этого выражения сразу приводят к формуле

Конечно, можно начать по-другому, а именно поместить два кварка в триплетное спиновое состояние и добавить спин третьего кварка. Конечный результат получается тот же.

Таблица 5. Свойства симметрии трехкварковых волновых функций (см. скан)

Подобным образом для нейтрона находим

Другие полностью выписанные примеры можно найти в статьях Тирринга [47, 48].

В табл. 5 мы приводим свойства трехкварковых волновых функций относительно перестановочной симметрии, которые понадобятся в дальнейшем. Предполагается, что кварки подчиняются статистике Ферми [ антисимметрична].