3. ТРЕХТРИПЛЕТНАЯ МОДЕЛЬ С ДВОЙНОЙ SU(3)-СИММЕТРИЕЙ

М. Хан, И. Намбу

Имея в виду преодолеть некоторые кинематические и динамические трудности однотриплетной модели кварков, мы предлагаем модель низших барионов и мезонов, основанную на трех триплетах с целочисленными зарядами. Она в некоторой степени подобна двухтриплетной модели, введенной ранее одним из авторов .). Показано, что в -схеме триплетов с целочисленными зарядами мы естественно приходим к трем триплетам, расположенным симметрично относительно начала координат диаграммы , если ограничиться случаем, когда соотношение Гелл-Манна — Нишиджимы остается неизменным. Предлагается схема двойной -симметрии, в которой большие расщепления масс между различными представлениями приписываются одной из групп тогда как вторая группа представляет собой обычную группу, отвечающую за расщепления масс внутри представлений первой группы .

I. Введение

Хотя -симметрия решительно указывает на то, что барион является по существу трехчастичной системой, построенной из некоторого базисного триплетного поля или нескольких полей, модель кварков [1, 2] не вполне удовлетворительна с реалистической точки зрения, поскольку а) электрические заряды не целочисленны, б) три кварка в -состояниях не образуют симметричного -представления, приписываемого барионам, и в) отсутствует простой динамический механизм, который позволял бы реализовать в качестве низших уровней только состояния с равной нулю триальностью.

Эти трудности можно преодолеть, если ввести несколько базисных триплетов. Недавно один из авторов .) попытался использовать двухтриплетную модель [3], где компоненты триплетов несут заряды (1, 0, 0) и (0, —1, —1), как это было предложено ранее Бакри и др. [4]. Барион представлялся бы комбинацией тогда как мезоны соответствовали бы некоторой комбинации Предполагается, что массы компонент триплетов велики по сравнению с массой бариона. Это

означало бы существование очень больших энергий связи в барионах и мезонах. Динамический механизм в такой картине определяется некоторым нейтральным полем, сильно связанным с квантовым числом «прелесть» С, которое равно 1 для для следовательно, для барионов и мезонов. По аналогии с электростатической энергией мы можем принять, что потенциальная энергия поля «прелести» будет наименьшей, когда система «нейтральна», т. е. при Тогда все другие нежелательные конфигурации с включающие среди прочих триплетные, секстетные и т. д. представления, будут обладать большими массами и поэтому их нелегко будет обнаружить.

Было предложено два различных способа введения базисного триплета или триплетов с целочисленными зарядами. Один подход связан по существу с модификацией соотношения Гелл-Манна — Нишиджимы при помощи введения дополнительного квантового числа, а именно квантового числа триальности [7—9], а это привело к рассмотрению схем высшей симметрии, основанных на группах Ли третьего ранга 2). С другой стороны, Окубо и др. показали недавно, что минимальной группой, которая требуется для этой цели, является в действительности группа Показано, что триплетную схему можно так определить в рамках группы что компоненты триплета будут всегда иметь целочисленные значения заряда и гиперзаряда и будут удовлетворять неизменному соотношению Гелл-Манна — Нишиджимы. Рассмотренный Окубо и др. -триплет относится к сакатовскому типу, т. е. он состоит из изодублета и изосинглета. Фактически -схема в двух отношениях гораздо привлекательнее, чем схемы, основанные на группах Ли третьего ранга: во-первых, соотношение Гелл-Манна — Нишиджимы выполняется универсально для триплетов, как и для октетов и декуплетов, во-вторых, в отношении

реализованных до сих пор представлений группа эквивалентна группе [13].

В дальнейшем мы покажем, что -схема, использованная полностью, как описано ниже, естественно и однозначно приводит к системе трех базисных триплетов с целочисленными зарядами; мы получим -триплет (изодублет и изосинглет), -триплет (дублет и синглет по -спину) и -триплет (дублет и синглет по F-спину) [14- 16]. Эти триплеты возникают из трех различных способов определения заряда гиперзаряда У и смещенного изоспина в группе , которые в противоположность случаю группы приводят к целочисленным значениям заряда и гиперзаряда, не затрагивая соотношения Гелл-Манна — Нишиджимы. Эти триплеты отличаются друг от друга своими квантовыми числами, а также трансформационными свойствами относительно вейлевских отражений [17]. Все это описано в разделе 2. В разделе 3 предлагается схема двойной -симметрии, основанная на трехтриплетной модели, в которой большое расщепление масс между различными представлениями приписывается одной из групп , тогда как вторая группа отвечает, как обычно, за расщепление масс внутри представления. Низшие барионные и мезонные состояния можно выбрать в виде синглетов относительно одной из групп Кратко рассматривается обобщенная группа симметрии, относящаяся к -симметрии.

II. Три триплета

Обозначим инфинитезимальные генераторы группы через Они удовлетворяют следующим коммутационным соотношениям:

где все индексы пробегают значения 1, 2 и 3. Соответствующие инфинитезимальные генераторы группы выражаются в виде

и удовлетворяют следующим соотношениям:

и

Кроме того, из унитарности имеем

Теперь коротко резюмируем нужные нам результаты Окубо и др. В -схеме заряд гиперзаряд и третья компонента изоспина определяются следующим образом:

В -схеме соответствующие величины и определяются следующим образом:

где

Видно, что при таких определениях соотношение Гелл-Манна — Нишиджимы выполняется как в теории с группой так и в теории с группой т. е. соответственно

Поскольку собственные значения генераторов целочисленны в любом представлении, отождествление и с зарядом и гиперзарядом соответственно

всегда приведет в теории с группой к целочисленным значениям заряда и гиперзаряда. В частности, в трехмерном представлении -триплет имеет собственные значения

Этот триплет соответствует триплету Сакаты; для краткости мы назовем его -триплетом.

Мы можем теперь обобщить приведенное построение -триплета следующим образом. Сравнивая (66) и (76), мы видим, что для был сделан только один из возможных выборов. Если бы мы сопоставили с то он все равно имел бы целочисленные собственные значения, однако соотношение (10) уже не выполнялось бы. Это следует из равенства в случае группы , но в случае группы вообще , так что необходима некоторая осторожность при определении соответствующих величин в случае группы . Используя (4), мы можем записать определения (6) в более общем виде

Как и для соотношений (7), заменяя Вв формулах (12) соответствующими мы получаем список всех возможных кандидатов для соответствующих величин в случае группы , которые теперь, однако, не эквивалентны друг другу [они, конечно, становятся эквивалентными, если перейти к группе ]. Имеем

Различные возможности выбора в (13) приводят к двенадцати неэквивалентным способам, которыми можно выбрать системы трех величин и в -схеме. При любом выборе собственные значения и будут целочисленными, но, как легко показать, соотношение Гелл-Манна — Нишиджимы будет выполняться не во всех случаях. Оно выполняется только в трех случаях, и тем самым мы естественно приходим к трем неэквивалентным триплетам и -схеме. Эти триплеты определяются следующими тремя способами выбора:

Первый из них для которого

соответствует упоминавшемуся выше -триплету.

Структуру остальных триплетов можно привести к гораздо более ясной и симметричной форме, если использовать подалгебры -спина и У-спина [14—16]. Как и в случае соотношений (9) и (10) для групп и , мы определяем и У-спин в группе точно теми же формулами, как в группе , обозначая лишь все величины буквами с тильдой. Тогда из определений для группы [18] мы имеем

для (14б) и

для (14в). Таким образом, они соответствуют [-триплету и -триплету и, тем самым, обозначениям По

отношению к -триплету (кваркам) относительные «гиперзаряды» этих -триплетов (т. е. ) сдвинуты на величину 2/3.

Фиг. 1. Однотриплетная (кварковая) модель.

Поэтому они обладают совершенно другими трансформационными свойствами относительно вейлевских отражений которые представляют собой отражения относительно осей

Фиг. 2. Двухтриплетная модель.

Фиг. 3. Трехтриплетная модель.

соответственно. В то время как -триплет инвариантен относительно всех трех вейлевских отражений, -триплеты неинвариантны. Они преобразуются по закону

На фиг. 1 и в табл. 1 (а) приведены квантовые числа и для однотриплетной (кварковой) модели. Возможный выбор в двухтриплетной модели [3] показан на фиг. 2 и в табл. Соответствующие квантовые числа в трехтриплетной модели приведены на фиг. 3 и в табл.

Таблица 1. Приписывание квантовых чисел в кварковой модели (а) двухтриплетной модели (б) и трехтриплетной модели

(см. скан)

III. Двойная SU(3)-симметрия

Обозначим наши три триплета через Вообще каждый триплет можно охарактеризовать средними значениями и У величин и трех его членов. Это определяет положение центра триплета на диаграмме Поскольку из (14) получаем для трех определений

соответственно, где для всех триплетов. Мы можем определить новые величины с помощью соотношений

Ясно, что играют роль -генераторов внутри каждого триплета. Квантовое число «прелесть» С, определенное в двухтриплетной модели [3], в этих обозначениях имеет вид

Теперь интересно отметить, что, согласно (22) и фиг. 3, центры трех триплетов образуют антитриплет, эквивалентный триплету антикварков, расположенному симметрично относительно начала координат. Предположим, что все девять членов трех триплетов объединяются в один мультиплет . Мы можем теперь вообразить две различные системы -преобразований, действующих на состояния Т. Одна система — это группа действующая на индекс а в каждом триплете, в то время как другая группа действует на индекс отвечающий смешиванию соответствующих членов из разных триплетов. Тогда Т

является представлением этой группы Квантовые числа, соответствующие и задаем как где определены в (22). Получаем

Общее представление группы можно охарактеризовать четырьмя числами так что , где представление группы . Однако в нашей схеме, где нонет Т является фундаментальным полем, мы не получаем все возможные представления группы Это можно проиллюстрировать с помощью квантовых чисел триальности . Для нонета Тогда для всех представлений, построенных из , выполняется равенство

Рассмотрим теперь мезонные и барионные состояния Содержание этих и -плетов относительно определяется формулами

Имеется привлекательная возможность постулировать на этом этапе, что уровни энергии классифицируются согласно группе Тогда массы будут зависеть от операторов Казимира группы Например, простая линейная форма будет иметь вид

где — собственные значения квадратичного и кубического операторов Казимира группы В частности,

мы можем предположить, что основное массовое расщепление происходит за счет Поскольку с увеличением размерности представления эта величина возрастает, низшими уровнями массы будут (-синглеты. Это соображение отбирает в качестве низших мезонных и барионных состояний представления (8,1), (1,1) и соответственно (8,1), (1,1), (10,1). В общем случае все низшие состояния будут иметь триальность, равную нулю:

Что касается барионного числа, приписываемого триплетам, то простейшая возможность состоит в том, чтобы всем им приписать одинаковое барионное число, т. е. В этом случае сами триплеты были бы по существу стабильными, а девять их компонент вели бы себя как октет плюс синглет «тяжелых барионов», как это можно видеть на фиг. 3. Другую простую возможность можно реализовать, положив При этом для триплетов Мы ожидаем, что массовое расщепление зависит от В или отсюда может происходить массовая формула Гелл-Манна — Окубо.

Преимущество трехтриплетной модели состоит в том, что легко реализовать -симметрию с триплетами в -состояниях. Теперь расширенной группой симметрии становится группа Поскольку -синглет антисимметричен, из полного принципа Паули следует, что барионные состояния должны составлять симметричный -плет группы . Другие представления группы , например -плет, будут получаться, если ввести либо орбитальные моменты, либо «р-спин» дираковских спинорных триплетов.

Как и в двухтриплетной модели, упомянутой во введении, массовую формулу типа (27) можно вывести динамически. Вместо поля квантового числа «прелесть» мы введем теперь восемь калибровочных векторных полей, преобразующихся по типу (1,8), т. е. как октет по группе и как синглеты по группе Поскольку их связь с отдельными триплетами пропорциональна (генераторам группы энергия взаимодействия, возникающая из обмена этими векторными полями, приведет к первому и второму членам формулы (27). Если

для этих мезонов также имеет место массовая формула аналогичного типа, то можно ожидать, что их массы будут больше, чем массы обычных мезонов. Неясно, однако, можно ли легко примирить получающийся короткодействующий характер взаимодействия с постулированной большой энергией взаимодействия.

Иерархию взаимодействий и их симметрий, возникающую в изложенной модели, мы можем охарактеризовать следующим образом. Во-первых, сверхсилъные взаимодействия, отвечающие за образование барионов и мезонов. Они обладают симметрией группы и приводят к большим массовым расщеплениям между различными представлениями. Значения масс здесь того же порядка или велики по сравнению с массой бариона, т. е. Гэв. Низшие состояния, т. е. синглетные -состояния, расщеплены согласно группе представляющей собой ту группу которая наблюдается для известных барионов и мезонов при их сильных взаимодействиях. Величина расщепления масс здесь

Когда мы переходим к рассмотрению тяжелых несинглетных (-состояний, вполне может существовать связь между этими двумя группами аналогичная -связи. Уровни должны классифицироваться по трем системам операторов Казимира, образованных соответственно из Расщепление, вызываемое этой связью, естественно, имеет промежуточную величину, а именно Благодаря этой связи нарушаются законы сохранения по отдельности двух -спинов: стороны и — с другой. Только суммы будут сохраняться при сильных взаимодействиях. Это в свою очередь будет означать, что все тяжелые состояния вообще крайне неустойчивы и распадаются за счет сильных взаимодействий в низшие состояния. (В двухтриплетной модели мы рассматривали только слабые распады состояний с однако существует возможность и сильных распадов, как ожидается здесь.)

Мы рассмотрели здесь возможную модель барионов и мезонов, основанную на трех триплетах. Как можем мы провести различие между этой моделью и уже упоминавшимися другими моделями? Конечно, разные модели

предсказывают весьма различную структуру тяжелых состояний. Эти состояния характеризуются в кварковой модели триальностью, в двухтриплетной модели — квантовым числом «прелесть», а в предлагаемой трехтриплетной модели — представлением группы Однако если ограничиться низшими состояниями, то, по-видимому, трудно провести различие между этими моделями, не делая более детальных динамических предположений.

Один из авторов (М. X.) благодарит проф. Е. Сударшана и проф. А. Макферлейна за поддержку и полезные обсуждения, а также проф. Л. О’Рэфертэ и Дж. Курияна за стимулирующие замечания.

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)