§ 2. Высшие мультиплеты

Таким же образом, как было коротко продемонстрировано в гл. 1 для группы мы можем получить высшие представления группы , образуя прямые произведения базисных спиноров Сначала

рассмотрим состояния пары кварк — антикварк

Их всего девять, и они обладают смешанными свойствами относительно преобразований из группы т. е. они не образуют базиса неприводимого представления. Чтобы построить неприводимые представления, мы выбираем подходящие линейные комбинации этих состояний в точности так же, как мы это сделали в гл. 1.

Фиг. 1. Триплеты кварков и антикварков.

Комбинация

инвариантна относительно любого преобразования и как таковая образует базис одномерного представления. Коэффициент является нормирующим множителем. Мы получили унитарный синглет. Можно проверить непосредственно, что остающиеся восемь состояний преобразуются друг через друга и охватывают базис восьмимерного представления; мы называем его октетом. Следовательно, мы нашли, что прямое произведение триплета и антитриплета разбивается на синглет и октет. Символически это можно записать в виде

Оба центральных состояния октета, т. е. состояния с являются линейными комбинациями

Одно из этих состояний выбирается, исходя из требования, чтобы оно вместе с образовывало триплет. Следовательно, оно имеет вид

Оставшееся состояние у представляет собой изосинглет; это состояние определяется требованием его ортогональности к и к состоянию унитарного синглета (2.7).

Фиг. 2. (см. скан) Октет состояний системы кварка и антикварка.

С учетом нормирующего множителя это приводит к определению

Итак, мы имеем систему состояний октета, изображенную на фиг. 2.

Рассмотрим теперь произведение двух кварковых триплетов. Базисными состояниями являются

Эти девять состояний также имеют смешанные свойства относительно преобразований группы Исследуя их поведение при перестановке двух кварковых индексов, мы сразу видим, что можно образовать шесть симметричных состояний

и три антисимметричных состояния

Обе системы состояний преобразуются независимо, т. е. они образуют базисы неприводимых представлений группы Первая система образует секстет а вторая образует антитриплет что становится ясно, если заметить, что состояние является изоскаляром с гиперзарядом 2/3, т. е. преобразуется как X (см. фиг. 1). Следовательно,

Наконец, в трехкварковой конфигурации мы имеем базисные состояния

Этот случай сложнее, но, используя сначала (2.14), а затем (2.8), мы можем написать

Нетрудно проверить [4], используя (2.12), что в произведении имеется 10 полностью симметричных состояний, преобразующихся друг через друга; они образуют декуплет Остальные восемь состояний образуют октет. Итак, мы получаем

Состояния декуплета здесь полностью симметричны по кварковым индексам к; состояния октета обладают

смешанной перестановочной симметрией, а инглетное состояние антисимметрично. [Заметим, что в (2.14) содержит антисимметричные состояния (2.13).]