§ 3. Могут ли кварки подчиняться статистике Ферми?

Митра и Маджумдар [52] указали еще одну трудность, связанную с антисимметричностью пространственной части волновых функций. Они заметили, что такие функции приводят к нулям в формфакторах барионов. Это легко видеть [53]. В нерелятивистском случае такой формфактор равен (если считать кварки точечными)

где нормированное распределение заряда для случая полностью симметричной или антисимметричной пространственной волновой функции можно записать в виде

В соотношениях (7.6) и (7.7) мы выбрали координаты трех кварков в системе их центра масс, где При функции и зависят только от абсолютных величин и Если функция антисимметрична, то плотность заряда в начале координат обращается в нуль, поскольку подынтегральное выражение в (7.7) становится тождественным нулем. Следовательно,

откуда мы заключаем, что должна иметь нуль (это справедливо только в том случае, когда непрерывна при Действительное положение этого нуля при таком рассмотрении не определяется.

Используя антисимметричную волновую функцию типа (7.3) с

Митра и Маджумдар нашли, что нуль расположен при При использовании приведенной выше волновой функции среднеквадратичный радиус связанный с трехкварковым распределением, оказывается порядка Если его отождествить со среднеквадратичным радиусом зарядового распределения протона, равным 0,81 фермы, то нуль появляется вблизи

Поскольку экспериментальные данные [54] не обнаруживают каких-либо признаков нуля вплоть до использование антисимметричной волновой функции кажется отвергнутым этим соображением. Однако нам следует быть осторожными. Во-первых, волновая функция (7.9) может оказаться слишком упрощенной. Действительно, как показали Крепе и де Сварт [53], можно построить более сложные антисимметричные волновые функции, приводящие к формфакторам с нулями при гораздо больших значениях почти на границе экспериментальной области. Но при столь больших значениях нерелятивистский подсчет формфактора не имеет, конечно, особого смысла, и все эти соображения повисают в воздухе. Во-вторых, следует помнить, что полученный вывод был сделан на основе предположения

о кварках, как о точечных частицах, лишенных структуры, а пространственное распределение электромагнитных свойств барионов вытекает из пространственной протяженности трехкварковой волновой функции. Однако если кварки имеют структуру, т. е. если их заряды и магнитные моменты распределены в области порядка размеров самих нуклонов (ср. обсуждение в конце гл. 5, § 2), то в этом случае не должно обязательно отождествляться со среднеквадратичным радиусом зарядового распределения протона и фактически может быть весьма малым, отодвигая тем самым нуль на большие значения Например, если взять фермы, то нуль получится при что далеко выходит за рамки современной экспериментальной области.

Подводя итоги, мы можем сказать, что данные по формфакторам пока не исключают определенно возможность антисимметричной пространственной волновой функции, но если в нуклонных формфакторах никогда не будет найден нуль, то может возникнуть серьезная трудность. В этом случае придется отказаться от статистики Ферми для кварков и предположить парастатистику, как пред-. ложил Гринберг [55, 56], или, что сводится к тому же, предположить существование трех триплетов кварков, различаемых новым индексом , как в модели Хана — Намбу (гл. 4). Волновая функция низших барионных состояний принимает тогда вид

где — полностью антисимметричный тензор с Ясно, что в этом предположении допускается полностью симметричная при симметричной что и наблюдается в мультиплете 56. Вопрос о перестановочной симметрии пространственной волновой функции барионов, хотя сам по себе и важный, не очень существен для большинства практических приложений, где эта функция появляется в выражении типа (5.11), которое аппроксимируется единицей или рассматривается как свободный параметр. Отметим, что новая степень свободы, появляющаяся в трехтриплетной модели, приводит к добавочным возбуждениям, из которых следует возможность

построения -мультиплетов трехчастичных состояний (таких, как {10}), которые нельзя получить из трех обычных кварков. Мы вернемся к симметричной модели в гл. 9, § 5.