5. ВОЗМОЖНО ЛИ НЕРЕЛЯТИВИСТСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ ДЛЯ ОПИСАНИЯ ВНУТРЕННЕЙ ДИНАМИКИ «ЭЛЕМЕНТАРНЫХ» ЧАСТИЦ?

Г. Морпурго

Отмечается, что в противоположность обычным взглядам внутренняя динамика в составной модели «элементарной» частицы не обязательно должна быть релятивистской. Если сила, которая связывает составляющие объекты, имеет конечный радиус действия и не слишком сингулярна, то релятивистский характер внутреннего движения зависит только от радиуса действия такой силы и от массы составляющих частиц и не зависит от глубины потенциальной ямы. Например, в кварк-антикварковой модели октета бозонов при массе кварка, равной и радиусе связывающей силы имеем т. е. нерелятивистскую ситуацию, совершенно аналогичную ситуации в ядерной физике.

Отмечается, что отсюда можно понять некоторые черты динамики и -симметрий, если записать нерелятивистский гамильтониан для кварков аналогично тому, как это делается при записи гамильтониана для ядра. Точнее: 1) можно понять, почему массовая формула Гелл-Манна — Окубо для барионов в рамках -симметрии выполняется гораздо лучше, чем можно ожидать из ее вывода по теории возмущений; 2) можно получить отношение магнитных моментов протона и нейтрона, равное —3/2, которое следует из -симметрии, с помощью очень простого расчета, который в то же время показывает, насколько своеобразна ситуация с вычислением абсолютных значений магнитных моментов: некоторые интересные аспекты этой ситуации, хотя и подразумеваются при обычном выводе, маскируются там алгебраическими вычислениями; 3) точка зрения, принятая в этой статье, приводит к выводу, что -симметрия, по-видимому, должна иметь место только при нерелятивистских энергиях взаимодействующих частиц.

I. Введение

Цель настоящей работы, которую мы надеемся в будущем продолжить, состоит в том, чтобы привлечь внимание к обстоятельству, которое рассматривалось как почти очевидное со времени работы Ферми и Янга [1], но которое, по нашему мнению, вовсе не очевидно.

Вопрос состоит в следующем. Если принять составную модель элементарных частиц, то будет ли движение

составляющих частиц релятивистским или нерелятивистским, как, например, в позитронии или в ядре? Почти всегда считалось очевидным или подразумевалось, что это движение будет релятивистским и даже ультрарелятивистским. При этом основывались, по-видимому, на двух обстоятельствах. Первое заключается в том, что Ферми и при построении пиона в виде -системы использовали потенциальную яму, радиус которой предполагался равным комптоновской длине волны нуклона Если поступать таким образом, то движение -системы с необходимостью является релятивистским просто вследствие принципа неопределенности; в самом деле, неопределенность импульса должна быть порядка так что по порядку величины т. е. движение полностью релятивистское. Второе обстоятельство заключается в том, что для сил с большим радиусом действия среднее значение кинетической энергии имеет тот же порядок величины, что и среднее значение потенциальной энергии (теорема вириала); поскольку потенциальная энергия должна быть порядка энергии покоя связанных частиц, кинетическая энергия имеет тот же порядок величины и задача явно носит полностью релятивистский характер.

Теперь предположим на время, что радиус действия силы притяжения между нуклонами и антинуклонами, приводящей к образованию пиона, равен не что соответствует двум массам пиона. Тем самым мы предполагаем, что существует сильный потенциал притяжения с радиусом действия Следует подчеркнуть, что это предположение сделано здесь только для иллюстрации того, что мы имеем в виду. Оно может в этом случае не соответствовать экспериментальным данным по нуклон-антинуклонному рассеянию и аннигиляции. В этом случае неопределенность импульса а средняя кинетическая энергия порядка Отношение кинетической энергии к энергии покоя нуклона равно т. е. мы имеем умеренно нерелятивистскую ситуацию.

Другими словами, может существовать ситуация, в которой потенциальная яма, связывающая нуклон

и антинуклон, настолько глубока, что компенсирует массы связанных частиц; кроме того, ее радиус действия намного больше комптоновской длины волны составляющих частиц. Для основного состояния наличие релятивистского или нерелятивистского характера ситуации не зависит от глубины потенциальной ямы, а зависит только от радиуса действия потенциала и массы составляющих частиц.

До сих пор мы рассматривали модель Ферми — Янга для пиона, но в действительности эти представления возникли при обдумывании кварковой структуры частиц 12—4]. Представим себе пион в виде связанной пары кварк — антикварк и предположим, что кварки представляют собой реальные частицы (а не только математические понятия) и масса их довольно велика, скажем Точного значения мы, конечно, не знаем. Взаимодействие между кварками может передаваться кварк-антикварковыми объединениями; чтобы получалось притяжение, взаимодействие может передаваться, например, частицей из векторного октета. Радиус действия, следовательно, равен а кинетическая энергия Т объединения кварк — антикварк равна При отношение Таким образом, мы имеем явно нерелятивистскую ситуацию, совершенно аналогичную ситуации в ядерной физике.

Если это так, то некоторое число непонятных пока фактов можно объяснить, по крайней мере качественно. Рассмотрим сначала «простую» теорию -симметрии [5—7], а затем обсудим -симметрию.

Первый пункт, который становится ясным, состоит в том, что если частицы составлены из кварков, то описание с фиксированным числом кварков и антикварков, содержащихся в данной частице, является очень хорошим описанием в том же смысле, в каком очень хорошим описанием является описание ядра волновой функцией с фиксированным числом нуклонов. Справедливо, что в ядре может находиться нуклон-антинуклонная пара, кроме содержащихся там нуклонов, но практически хорошее описание ядра получается при пренебрежении такими виртуальными парами, а также при пренебрежении виртуальными пионами. Можно было бы возразить,

что в данном случае ситуация не столь ясна, так как даже если верно, что внутри частицы кварки движутся нерелятивистски, они находятся в очень глубокой потенциальной яме, настолько глубокой, что их энергия покоя практически компенсируется, тогда как для ядер это, конечно, не так. Однако это различие не изменяет сделанный выше вывод.

В самом деле, рассмотрим очень цростую модель связи кварков, предназначенную специально для иллюстрации этого пункта. Допустим, что кварки связаны посредством нейтрального векторного мезонного поля, масса которого выбрана так, чтобы дать требуемый большой радиус действия (скажем как указано выше), а константа связи с которым также выбрана так, чтобы обеспечить требуемую глубину потенциальной ямы, связывающей кварки.

Тогда, как хорошо известно [8], взаимодействие нашей системы кварков плюс мезонное поле можно преобразовать во всех порядках по так, чтобы получить мгновенное взаимодействие Юкавы плюс другие члены. Используемый способ при этом полностью аналогичен тому, с помощью которого получают кулоновское взаимодействие в электродинамике. Другими словами,

Здесь — временная и пространственная компоненты кваркового тока

Теперь высказанное выше заключение о том, что, используя только фиксированное число кварков, мы получаем хорошее приближение, следует из того, что матричные элементы типа имеют порядок величины где — импульс начального или одного из конечных кварков. Если — импульс начальных кварков, то эта величина мала, как было сказано выше; если же — импульс одного из конечных кварков, то она

может быть большой, но тогда переход сдвинут с энергетической поверхности на величину М и, следовательно, невероятен.

II. Обсуждение формулы Гелл-Манна — Окубо

Второй пункт, в котором, по-видимому, можно достичь лучшего понимания, если считать движение кварков нерелятивистским, состоит в следующем. Почему массовая формула Гелл-Манна — Окубо [5, 6, 9] оказывается применимой далеко за пределами первого порядка теории возмущений?

Рассмотрим барионный декуплет или октет и запишем гамильтониан трехкварковой системы, состоящий из унитарно-инвариантной части плюс некоторый добавок который, как обычно, предполагается преобразующимся подобно компоненте унитарного тензора. Выберем, например, в виде

где — энергия покоя кварков (два из них имеют одинаковую массу М, а масса третьего М, как подробнее рассмотрено ниже, отличается от М), — кинетические энергии кварков одинаковой массы, — потенциальные энергии; записанные в предположении

двухчастичных сил. Это предположение, однако, не существенно. Все, что мы должны допустить для гамильтониана и потенциальной энергии в (1), состоит в предположении, что они являются симметричными функциями координат и спинов кварков, не зависящими от операторов унитарного спина, или содержащих их только через казимировские инварианты. С другой стороны, часть гамильтониана будет симметричной по пространственным, спиновым и унитарно-спиновым координатам. Она будет линейно зависеть от Мы можем напцсать

где — вклад члена кинетической энергии и массы покоя в ту часть гамильтониана, которая преобразуется как — вклад потенциальной энергии. Например, если действуют только двухчастичные силы, то мы можем записать в виде

тогда как как обычно, имеет вид

где М — общее значение массы кварков типа 1 и масса кварков типа

Заметим, что главный вклад в расщепление масс как в барионном декуплете, так и в барионном октете может давать первый член в который описывает разность масс третьего кварка и двух остальных. Цвейг [4] уже отмечал, что эта разность масс может отвечать за большую часть расщепления. Величина определяется разностью масс или, что эквивалентно, разностью Таким образом, мы можем принять разность в первом члене определения (3) приближенно равной . К этому большому

возмущению, которое, однако, коммутирует с остальной частью гамильтониана и, следовательно, может рассматриваться точно, следует добавить малое возмущение, которое, например, отвечает за разность масс . Разность приближенно равна таков порядок величины этого второго возмущения. Поэтому нет ничего странного в том, что расчет в первом порядке с зтим возмущением приводит к точным результатам.

Теперь можно было бы попытаться отождествить это второе возмущение со вторым членом в . В самом деле, если бы это было так, то можно было бы понять, почему это второе возмущение также линейно по -Однако второй (кинетический) член в (3) оказывается слишком малым. Фактически его порядок величины равен и в случае нерелятивистского движения кварков не может намного превышать 5 или 10 Мэв. Следовательно, это возмущение может быть обнаружено, по-видимому, в потенциальной энергии, хотя возникает вопрос, почему это возмущение просто линейно по

Во всяком случае, считая, что возмущение «40 Мэв обусловлено потенциальной энергией, линейной по как в выражении (2), мы можем просто вычислить воздействие этого возмущения на массы барионов. Способ вычисления полностью аналогичен тому, который используется при растете энергий связи ядер. Например, математическое ожидание в состояниях декуплета можно немедленно вычислить следующим образом. Обозначим 10 волновых функций состояний декуплета через Все симметричны по переменным унитарного спина, и поэтому их можно записать в виде произведения полностью антисимметричной пространственной и спиновой части на симметричные функции унитарного спина, которые мы обозначим Таким образом,

где антисимметричная функция одна и та же для всех значений Имеем, следовательно,

Поскольку волновые функции имеют вид произведений, каждое из слагаемых в (4) разделяется на матричный элемент по пространственным и спиновым переменным и матричный элемент по унитарному спину. Вследствие антисимметричности функции имеем

Таким образом, как и ожидалось,

где — гиперзаряд частицы из декуплета. Следовательно, мы можем написать массовую формулу для

декуплета в виде

где, повторяем, главный член, пропорциональный (М — М), вычислен точно, и только последний член, соответствующий возмущению должен рассматриваться как вычисленный по теории возмущений (или вариационным методом). Аналогичный расчет можно, конечно, выполнить для барионного октета, хотя в этом случае вычисления сложнее, так как теперь пространственная и спиновая часть волновой функции не антисимметрична, а преобразуется по двумерному представлению группы перестановок трех объектдв.

Что касается мезонных октетов, то их рассмотрение полностью аналогично. Представляя себе мезоны как объединения кварка и антикварка, мы должны, конечно, предположить, что между кварком и антикварком действует большая унитарно-симметричная сила притяжения, на которую опять в первую очередь влияет возмущение, обусловленное разностью масс кварков, а затем другое возмущение, линейное по Здесь следует сделать два замечания.

1. Может показаться странным, что силы притяжения действуют как между кварками, так и между кварком и антикварком. Если бы, например, силы были обусловлены только нейтральным векторным мезоном, как рассматривалось выше, они были бы силами притяжения при взаимодействии кварка с антикварком, но при взаимодействии кварка с кварком они были бы силами отталкивания. Отметим, однако, что величина силы, действующей между кварками, отличается от величины силы, действующей между кварком и антикварком. Если считать массу кварка равной, например, то энергия связи кварка и антикварка равна по порядку величины тогда как энергия связи между двумя кварками равна по порядку величины Следовательно, грубо говоря, кварк с антикварком связаны вдвое сильнее, чем кварк с кварком. Между прочим, это могло бы объяснить отсутствие частиц, построенных из двух кварков: их масса была бы порядка массы кварка. Остается,

конечно, вопрос об отсутствии частиц, построенных из 4 или 5 кварков.

2. В схеме, подобной представленной здесь, трудно понять тот факт, что масса мезонов описывается квадратичной формулой. Однако это не является типичным для нерелятивистского приближения, подобного изложенному выше. Предложенные до сих пор объяснения того факта, что массовая формула для мезонов должна быть квадратичной, на самом деле неубедительны.

III. Замечания по поводу SU(6)-симметрии

В случае нерелятивистской внутренней структуры частиц не возникает никаких особых трудностей в задаче формулирования -инвариантности. Достаточно предположить, что в первом приближении кварковый гамильтониан не зависит от спина. Хорошо известно, что это требование легко можно ввести для нерелятивистской системы. Если мы посмотрим на -симметрию с этой точки зрения, то становится ясно, что она является приближенной симметрией [11—13]; она, возможно, нарушается нерелятивистскими эффектами и, несомненно, нарушается релятивистскими эффектами. Точно так же в ядерной физике -симметрия вигнеровских супермультиплетов является приближенной симметрией, которая нарушается тензорными, спин-орбитальными и спин-спиновыми эффектами. Остается только задача отыскания членов тензорного, спин-орбитального и спин-спинового типа, которые нарушают -симметрию. Если воздействие таких нарушающих -симметрию членов на волновую функцию протона или нейтрона не слишком велико, то -симметрия должна иметь

успех; в противном случае она бесполезна. Какой случай реализуется в природе, пока не совсем ясно.

Чтобы рассмотреть конкретный пример, мы вычислим [14] отношение магнитных моментов протона и нейтрона с помощью -симметрии, используя представление 56. Этот расчет становится тождественным расчету отношения магнитных моментов если

1) пространственная часть волновой функции этих выбранных ядер построенных из кварков, антисимметрична и имеет нулевой орбитальный момент

2) кварки имеют боровские магнитные моменты, пропорциональные их зарядам, т. е. пропорциональные для -кварка для -кварка.

Вычисление выполняется непосредственно. Обозначим три кварка через (конечно, не участвует в этом расчете) и отметим, что унитарно-спиновые части волновых функций протона и нейтрона соответственно имеют вид

Обозначив через пространственную и спиновую часть волновой функции, мы теперь предположим, что пространственная часть волновой функции инвариантна относительно вращений зависит только от относительных координат и антисимметрична; т. е. мы предположим, что функция имеет вид

где антисимметрична, а спиновая часть определяется требованием, чтобы она соответствовала спину 1/2. Только в этом пункте используется -симметрия. В самом деле, если считать, что частицы октета и декуплета принадлежат одному и тому же представлению 56 группы то пространственная часть волновой функции всех частиц из декуплета и октета должна быть одной и той же. Но вследствие принципа Паули пространствепная часть волновой функции декуплета, как мы уже говорили, должна быть антисимметричной, и то же самое должно иметь место для пространственной части волновой функции октета. Однако следует заметить, что предположение об антисимметричности фактически слабее, чем предположение о справедливости -симметрии. Форма для частиц октета вполне может отличаться от формы для частиц декуплета (тогда как -симметрия требует, конечно, чтобы в том и другом случае была одна и та же), и тем не менее результаты для отношения магнитных моментов останутся верными, если функция антисимметрична.

Запишем далее полные волновые функции протона и нейтрона

где — нормировочный множитель, оператор антисимметризации. Поскольку уже антисимметрична, спиновая и унитарно-спиновая часть волновой функции должна быть симметричной. Считая X нормированной, получаем

и аналогичную волновую функцию для где все надо просто заменить на а все заменить на

Математическое ожидание оператора спинового магнитного момента (орбитальной части нет, так как

(где — спины протонного и нейтронного кварков) равно

Можно видеть, что получается знаменитое отношение .

Здесь уместно сделать несколько замечаний о проблеме согласования и лоренц-инвариантности. Этой проблеме в последнее время уделялось большое внимание 2); она косвенным образом стимулировала и появление настоящей статьи. Сразу можно сказать, что, несмотря на огромную работу, удовлетворительного решения этой проблемы не получено. В самом деле, не доказано, что можно построить группу Ли G, включающую в качестве подгрупп и группу Лоренца, и группу без

введения по меньшей мере 32 генераторов, физический смысл которых неизвестен. Говоря иными словами, не оказалось возможным, а в некотором смысле было доказано, что невозможно [18—20] построить релятивистски-инвариантный лагранжиан для системы взаимодействующих частиц (содержащий только величины, имеющие физический смысл), который был бы также инвариантен относительно преобразований из группы

Могут спросить, какое отношение имеет это заключение к точке зрения, развиваемой в настоящей статье? Ответ простой: никакого отношения. Мы не требуем и не считаем, что кварковый лагранжиан точно инвариантен относительно некоторой группы указанного выше типа. Мы требуем просто, чтобы взаимодействия были такими, что эта -инвариантность, возможно, выполнялась в нерелятивистском пределе.

Конечно, в конце концов мы должны иметь возможность построить релятивистский лагранжиан взаимодействующих кварков, поскольку взаимодействия частиц, составленных из кварков, происходят также и при релятивистских скоростях. Повторяем, однако, что от этого лагранжиана мы должны только потребовать возможной инвариантности относительно группы в нерелятивистском пределе, а не требовать, чтобы он был точно -инвариантным.

Если это так, то можно высказать гипотезу, что -симметрия, возможно, является хорошей симметрией для нерелятивистских явлений, но не является такой, когда частицы и, следовательно, содержащиеся в них кварки, сталкиваются при релятивистских скоростях.

Чтобы провести аналогию, рассмотрим атом позитрония. Энергетические уровни позитрония с хорошей точностью определяются формулой Бальмера. С хорошим приближением спин-орбитальным и спин-спиновыми взаимодействиями можно пренебречь. Однако если мы хотим рассмотреть реакции, в которых участвует быстрый атом позитрония (например, рождение позитрония фотонами высокой энергии в поле ядра), то становятся необходимыми два дополнения.

1. Релятивистское описание состояния позитрония, другими словами, как преобразуется волновая функция при преобразовании Лоренца; это чисто кинематическая задача.

2. Релятивистское описание взаимодействия электронов позитрония с другими частицами; в частности, становятся важными спин-орбитальные члены; это — динамическая задача.

Согласно точке зрения, предложенной в настоящей статье, проблема частицы, составленной из тяжелых кварков, совершенно аналогична проблеме позитрония. Задача состоит не в том, чтобы построить одновременно релятивистский и -инвариантный лагранжиан. Вместо этого мы узнали, что в нерелятивистском пределе динамика и взаимодействия становятся простыми и это справедливо, в частности, как мы видели, для внутренней динамики. В релятивистском случае они, по-видимому, сложнее; насколько сложнее — это вопрос, решение которого мы должны предоставить будущему.

IV. Заключительные замечания

Здесь следует сделать еще три дополнительных замечания.

1. Можно было бы возразить, что если потенциальная яма, представляющая взаимодействие между двумя кварками, имеет сравнительно большой радиус действия, как принимается в настоящей статье, то плотность уровней в такой яме может быть слишком высокой по сравнению с плотностью известных частиц или резонансов. Однако

это не так. Рассмотрим, например, мезоны; возьмем потенциальную яму с радиусом действия и бесконечно глубокую. Тогда расстояние между первыми двумя -состояниями равно где масса кварка М опять принята равной Конечно, существуют также уровни но в целом расстояние между двумя состояниями представляется не слишком малым, если учесть еще тот факт, что в некоторых состояниях силы могут быть и силами отталкивания.

2. Возражение, которое можно было бы выдвинуть против -симметрии, а точнее против представления 56 для барионов, состоит в следующем. Выглядит странным, что пространственная часть волновой функции барионов полностью антисимметрична. В самом деле, в антисимметричных состояниях кинетическая энергия больше, чем в симметричных состояниях, и может показаться странным, что барионный октет, представляющий основное состояние трех кварков, является пространственно-антисимметричным состоянием. Мы уже изложили свою точку зрения на -классификацию и отметили, что ее справедливость (даже в нерелятивистском случае) пока не установлена. Однако это конкретное возражение представляется нам непоследовательным, так как задача здесь полностью отличается от задачи в обычной ядерной физике. Здесь кинетическая энергия представляет собой лишь очень малое возмущение по отношению к очень большой потенциальной энергии. Мы должны минимизировать, по существу, потенциальную энергию, и вполне может оказаться, что силы, связывающие кварки вместе, носят обменный характер и являются силами притяжения в пространственно-антисимметричных состояниях.

3. Наконец, если предлагаемые представления справедливы, то кварки должны существовать; они должны быть не только математическими объектами. Очевидно, для математических объектов не имеет смысла писать гамильтониан, представляющий собой энергию. Поэтому кварки должны быть в конце концов открыты.

Необходимо исследовать, какие условия наиболее подходящи для этого. Мы надеемся еще вернуться к этому вопросу 2).

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)