Глава 8. РАЗНОСТИ МАСС В SU(3)-МУЛЬТИПЛЕТАХ

§ 1. Мезоны

Продолжая обсуждение адронных состояний с малой массой рассмотрим теперь разности масс в соответствующих -мультиплетах. Начнем с псевдоскалярных и векторных мезонов.

Если присутствуют только силы типа (1) и (2) (в обозначениях гл. 7), то мезоны, принадлежащие одному -мультиплету, вырождены по массе. Значительные различия между центральными массами псевдоскалярного октета и векторного октета должны быть обусловлены присутствием нарушающих -симметрию, зависящих от спина сил типов (3) и (5). Как хорошо известно, массы изоспиновых мультиплетов в каждом -мультиплете также обнаруживают различия из-за нарушающих -симметрию взаимодействий. Простейшая и наиболее естественная гипотеза, которую можно выдвинуть в кварковой модели, заключается в том, что эти расщепления масс обусловлены исключительно разностью масс -кварка и и -кварков, т. е.

и . Эффекты электромагнитного взаимодействия не учитываются. Тогда в нерелятивистской кварковой модели массу частицы А из -мультиплета записывают в виде

где суммирование производится по кваркам, составляющим адрон А, а через обозначен -потенциал, который в рамках указанной гипотезы не зависит от индексов кварков и индекса может включать все возможные -инвариантные комбинации, а также предположительно малый член кинетической энергии. Функция представляет собой волновую функцию, определенную выражением (5.6).

Применим эту формулу к векторным мезонам V. Используя табл. 3, находим

где

Здесь представляет собой интеграл перекрытия пространственных волновых функций частиц определенный выражением (5.11); через обозначены массы чистого унитарного синглета и октета. Первые два соотношения дают

что приводит к значению если использовать значения масс, приведенные в табл. 3. Мы видим, что и не являются собственными состояниями энергии. Нарушающий -симметрию механизм вызывает переход между этими состояниями, который описывается оператором (смешивание Для получения физических частиц мы записываем их в виде (5.4) и диагонализируем матрицу масс

с помощью матрицы вращений

Это приводит к следующим уравнениям для собственных значений и угла смешивания 0:

Из этих уравнений мы видим, что кварковая модель предсказывает угол смешивания, включая его знак, в противоположность феноменологическому анализу на основе массовой формулы Гелл-Манна — Окубо, который позволяет получить только абсолютное значение угла.

Используя экспериментальные значения масс, приведенные в табл. 3, находим из (8.3) и (8.8)

Таких почти одинаковых значений и и следовало ожидать, если в -плете основные силы, приводящие к нарушению -симметрии, являются спин-спиновыми силами [см. (7.1)]. В самом деле, в этом случае мы имеем для векторных мезонов и из (8.3) и (8.4)

Кроме того, мы ожидаем также, что . Это согласуется с предыдущими уравнениями; однако значение которое мы получаем из (8.9), весьма чувствительно к выбору исходных значений масс. Значения, взятые из табл. 3, приводят к что невозможно; если взять то получаем Следовательно, в рамках экспериментальной неопределенности значения нонет векторных мезонов не противоречит да 1. Подставляя это значение и соотношение (8.12) в формулу (8.10), приходим к значению для которого собственные состояния энергии с определяются выражениями (5.5) с массами Имеем массовые соотношения

которые выполняются в пределах нескольких процентов. Небольшое расхождение показывает, что соотношение (8.12) не может быть точным равенством из-за присутствия других нарушающих -симметрию сил. Кроме того, угол смешивания не равен в точности Из (8.13) получаем вторую оценку величины А

очень близкую к указанному выше значению.

Если вместо линейного оператора массы перейти к оператору квадрата массы, обычно используемому для мезонов, то получим в результате

Для векторных мезонов выбор оператора мало влияет на результат, но в случае псевдоскалярных мезонов это не так. Из выражений, аналогичных (8.3), в случае линейных масс получаем

что находится в противоречии со значениями, полученными выше для векторных мезонов. Используя же оператор квадрата массы, получаем

в согласии с (8.15). Априорные причины предпочтительности использования оператора квадрата массы не очень ясны [7]. Обычный аргумент состоит в том, что в оператор энергии масса всегда входит в виде в случае бозонов, тогда как в случае фермионов она входит линейно.

Для нонета псевдоскалярных мезонов соотношение (8.12) сильно нарушается и Это можно видеть, если записать уравнения, подобные

(8.8) — (8.10), но для квадратов масс:

Теперь Р представляет собой интеграл перекрытия пространственных волновых функций частиц Подставляя экспериментальные значения масс и решая эти уравнения, находим

Сравним эти результаты с результатами для векторных мезонов.

Фиг. 5. Расщепление масс 36 мезонных состояний с обусловленное силами 1, 2 и 3 типов (масштаб произвольный).

Большая разница в значениях для двух нонетов указывает на присутствие по крайней мере в -плете зависящих от спина сил, обусловленных сильным взаимодействием, которые нарушают -симметрию. Приблизительно картина может выглядеть так, как показано на фиг. 5 (см. также гл. 9),

В проделанном анализе мы отождествили с девятый псевдоскалярный мезон из нонета. Недавно был открыт десятый псевдоскалярный мезон, а именно для которого, по-видимому, Если этот мезон рассматривать вместо в качестве девятого члена псевдоскалярного нонета, то (8.19) заменяется на

Действительная ситуация может оказаться еще сложнее, в том смысле, что в принципе может происходить смешивание всех трех состояний и Е.