§ 3. Парадокс Ван Ройена — Вайскопфа

Рассмотрим теперь реакции [86, 87, 95]

С точки зрения кварковой модели эти процессы включают аннигиляцию одного кварка и одного аптикварка. Благодаря этому появляется новый параметр в квадрате матричного элемента этих распадов, а именно где — (неизвестная) пространственная волновая функция связанного состояния кварка и антикварка, соответствующего распадающемуся мезону М. Легко видеть, как именно входит этот множитель. Следуя Ван Ройену и Вайскопфу [86, 87], мы записываем оператор рождения мезона М с нулевым импульсом через операторы рождения а кварка и антикварка с компонентами спина и унитарного спина и следующим образом:

Здесь — волновая функция связанного состояния, нормированная условием

а — коэффициент, зависящий только от индексов и спина и унитарного спина. Амплитуду аннигиляции можно записать в виде

где Н — оператор взаимодействия, вызывающего переход, а множитель, стоящий впереди, является нормировочным множителем. Предполагая теперь, что движение кварков нерелятивистское, так что мы можем разложить матричный элемент по степеням и сохранить только главный член, получаем окончательно

где мы использовали

Матричный элемент в правой части формулы (10.15) представляет собой в точности матричный элемент аннигиляции свободных кварков с нулевым импульсом. Выражение представляет соответствующим образом нормированное -состояние. Эффект связанного состояния описывается общим множителем .

Вычисление матричных элементов для процессов (10.14) теперь проводится непосредственно. Мы находим

Это соотношение выполняется в системе покоя распадающейся частицы. В соответствующее соотношение для распада -мезона входит вместо . Из (10.16) стандартным путем (см., например, [96]) получаем ширины распада

Используя экспериментальные значения , получаем из этих выражений удивительный результат [86, 87]

т. е. отношение почти точно равно Этот результат подтверждается аналогичными вычислениями для электромагнитных распадов (гл. 12). По-видимому, вообще мы имеем [86, 87]

( — псевдоскалярный или векторный мезон). Этот результат показывает, что нарушение симметрии весьма сильно отражается на пространственных волновых функциях, особенно в случае псевдоскалярных мезонов. В настоящее время не существует объяснения столь неожиданного поведения волновых функций. Однако мы должны помнить, что в (10.15) и, следовательно, в (10.19) мы пренебрегли формфакторами -аннигиляции. Эти формфакторы времени подобны и с трудом поддаются оценке. Таким образом, в действительности мы не получаем из (10.17) значения а получаем значение умноженное на формфактор Это может особенно изменить второе из соотношений (10.19).

Немедленно возникает вопрос: насколько сильно этот результат нарушает предположение сделанное в Мы можем проверить это, рассчитав при конкретном выборе волновой функции . Один простой выбор имеет вид

где — расстояние между кварками. Мы находим

и, согласно (10.19),

Это дает

такой результат показывает, что довольно нечувствителен к значению

Не противоречит ли выбор (10.20) первому из соотношений (10.19) и тому, что мы знаем о пионном формфакторе? С одной стороны, из (10.19) и (10.20) мы имеем

С другой стороны, из выражения для формфактора, следующего из (10.20),

и из недавно измеренного [97] среднеквадратичного зарядового радиуса пиона ферми, мы ожидаем , что противоречит (10.23). Знак равенства имеет место в случае, когда кварки представляют собой точечные заряды (см. также гл. 7, § 3). С такцм значением мы имеем вместо (10.19)

т. е. «измеренное» значение тая величины оказывается намного меньше, чем ожидаемое на основе (10.20). Следовательно, эта волновая функция и вообще любая волновая функция, принимающая максимальное значение при по-видимому, не дает верного описания при вблизи нуля, и в -потенциале действует некоторый механизм типа отталкивательной сердцевины, который сильно уменьшает волновую функцию в этой области.

Возможно, лучшие результаты даст выбор волновой функции в виде

При малых это снова приводит к формфактору (10.24). Если взять что позволяет воспроизвести правильное значение зарядового радиуса пиона, то потребуется принять Значит, в волновой

функции пиона наблюдается глубокий провал при Легко убедиться, что при таком выборе волновой функции интегралы перекрытия (10.21) также оказываются близкими к единице при значениях между 1 и 6 и значениях между 0 и 1.

Ясно, что сделанный вывод можно интерпретировать как аргумент в пользу картины адронов, в которой связанные кварки малы по сравнению с адронами и находятся в пространстве так далеко друг от друга, как это вообще возможно. Такая картина несовместима с обычным предположением о том, что формфакторы определяемые выражением (5.11), остаются приближенно постоянными в интервале (ср. замечания в гл. 5, § 2, в гл. 7, § 3 и в гл. 12, § 5).