8. ДУАЛЬНОСТЬ И МОДЕЛЬ КВАРКОВ ДЛЯ МЕЗОНОВ

Я. Коккеда

Согласно принципу дуальности в физике сильных взаимодействий [1—5], существуют два приближенных, дополнительных способа описания двухчастичной амплитуды рассеяния а именно, либо в виде суммы полюсов, соответствующих резонансам в прямом канале (-канале), либо в виде суммы членов, соответствующих обменам полюсами Редже в кросс-канале (в дальнейшем везде рассматривается -канал). Дуальность вместе с представлением [6] о том, что возможные вклады нерезонансного фона в прямом канале связаны с обменом полюсом Померанчука, приводит к соотношению

где скобки обозначают «полулокальное» среднее вклада резонанса, а в выражении исключен вклад от обмена полюсом Померанчука в -канале.

Из соотношения (1) немедленно следует, что если в прямом канале не существует резонансов (экзотический канал, см. нкже), так что то Лредже Это накладывает жесткие ограничения на полюса Редже в -канале. Находим, что траектории должны появляться в виде вырожденных пар (обменное вырождение) с определенными соотношениями между вершинными частями. В недавних статьях [1—5, 7—11] приводится множество иллюстраций к этому утверждению как для мезонных, так и для барионных траекторий.

В этой заметке мы рассматриваем следствия соотношения (1) и факта отсутствия экзотических резонансов для полной системы мезонных траекторий, появляющихся в нерелятивистской модели кварков. В этой модели мезонные состояния рассматриваются как связанные состояния пары кварк — антикварк с орбитальным моментом Известно, что эта модель вместе с соответствующей моделью Для барионов объясняет наблюдаемый спектр адронов. Экзотическими называются состояния,

квантовые числа которых не разрешены в модели кварков. Мы предположим в согласии с существующими экспериментальными данными, что таких состояний нет, и положим

Для каждого значения полного момента (кроме в -модели возникают четыре нонета мезонных состояний, которые имеют вид если использовать спектроскопическое обозначение — полный спин кварков). Это соответствует 32 различным траекториям,

Таблица 1. (см. скан) Траектории нестранных мезонов в -модели

из которых 16 имеют четную сигнатуру четное) и 16 — нечетную нечетное). В табл. 1 приведены 24 нестранные траектории. Не все они пока установлены экспериментально в том смысле, что не на все из попадают один или больше установленных резононов. Траектории, обозначенные (последний столбец), пока еще «пусты», а для нескольких других данные пока не убедительны Обозначим траектории с через а траектории с через Состояния на траекториях X и X в каждой строке табл. 1 представляют собой при данном вообще говоря, смеси чистых унитарных состояний

Здесь — кварки.

Рассмотрим процессы типа

где — мезон с находящийся где угодно на любой траектории из табл. 1. Используя кроссинг-симметрию, мы можем записать амплитуды трех процессов

(верхние индексы указывают заряд) через амплитуды с данным изоспином I в -канале. Если в -канале

учесть вклады только траекторий с и 1, то получаем

где символ выделяет часть амплитуды, четную (нечетную) относительно кроссинг-преобразования.

Первый из процессов (4) относится к классу экзотических, остальные два неэкзотические. Поэтому как следствие соотношений (1) мы ожидаем

Из соотношений (5) следует, что для выполнения этих условий должна иметь место компенсация между вкладами а также между Кроме соотношений между вычетами, которые мы здесь явно не рассматриваем, это требует, чтобы были вырождены траектории Редже с противоположной сигнатурой и различным изоспином (равным нулю или единице). Конечно, из процессов (3) мы получаем только условия для траекторий с одной и той же -четностью. Более того, мы должны потребовать, чтобы компенсация имела место независимо для траекторий с положительной и отрицательной нормальностью как это следует уже из рассмотрения процессов, в которых в -канале появляются траектории только одного типа. Наконец, мы предполагаем, что для

траекторий с вырождение наблюдается между теми из них, которые при данном имеют одинаковые значения Этот выбор представляется наиболее естественным, поскольку при данном мы ожидаем, что массы (-состояний увеличиваются с ростом Другими словами, на диаграмме Чу - Фраучи траектории находятся, по-видимому, гораздо правее траекторий а траектории лежат где-то между ними. Таким образом, ожидается, что в мезонных процессах внутри одного семейства связаны только траектории с противоположной сигнатурой и различным изоспином; мы имеем

Если потребовать, чтобы состояния с из данного нонета имели различные массы и, следовательно, различные траектории, то из траекторий с в каждом из условий (7) только одна может быть вырожденной с соответствующей траекторией с Следовательно, вторая не должна быть связана с процессом (3). Это требует «идеального» смешивания во всех нонетах, означающего, что при любой комбинации состояния из траекторий должны иметь кварковую структуру В этом случае, записывая где представляет величину нарушения (-симметрии мы приходим к следующим массовым соотношениям, вытекающим из модели кварков:

Используя эти соотношения вместе с условиями (7), мы получаем следующую схему вырождения нестранных

траекторий:

где первая строчка хорошо известна [7—11]. Все траектории X не связаны с нестранными мезонами. Однако они входят в реакции, включающие только странные мезоны. При этом отсутствие в таких процессах резонансов в каналах со странностью ±2 объясняется вырождением этих траекторий, которое показано в соотношениях (9).

Аналогичное вырождение имеет место в случае траекторий К. Имеем

Соотношения (8) и (10) можно объединить, записав

где — число А, (-кварков в -состоянии.

Полученные результаты не противоречат условиям, следующим из применения дуальности к процессам с участием барионов, таким, как или — нуклон), где в том и другом случае в -канале не существует резонансов. Рассмотрим, например, последний процесс. Мнимая часть вклада резонансов в каждую из пяти независимых спиральных амплитуд -канала равна нулю при каждом значении изоспина в -канале. Из кроссинговых свойств этих амплитуд можно показать, что это приводит к условиям, включающим траектории с одинаковыми изоспином и нормальностью, противоположной -четностью и противоположной сигнатурой, а именно замечания, предшествующие (7)]:

Эти условия не противоречат (7), (8) и (9).

Отметим, что при объединении условий (7) и (12) мы приходим к выводу, что из существования наблюдавшихся

траекторий следует существование пока не наблюдавшихся траекторий

Предположим теперь, что все траектории линейны и параллельны друг другу с одинаковым наклоном Это значение наклона получено в модели Венециано [14] и близко к экспериментальному значению. Поскольку (массовая формула Вейнберга), мы получаем дополнительный результат, что (при фиксированном траектории совпадают с траекториями не зависит от Если сверх того траектории при фиксированном (их квантовые числа одинаковы) отличаются на как это имеет место в модели Венециано, где одна из них является дочерней траекторией относительно другой, то мы приходим к схеме, показанной на фиг. 1. Мы положили Нарисованы только траектории с Траектории получаются из них параллельным переносом на и 26 соответственно.

Соответствующий этой фигуре спектр содержит, кроме двух псевдоскалярных состояний при (ср. примечание 1 на стр. 331), еще по четыре состояния при каждом ненулевом значении кратном а именно: 1) при состояния ей состояния при состояния а также два еще не открытых изоскалярных состояния с квантовыми числами которые могут распадаться на соответственно; 3) при состояния а также еще, два пока не открытых состояния с с квантовыми числами и -мезонов и т. д.

Любопытная эмпирическая формула, воспроизводящая схему фиг. 1, имеет вид

Зависимость от при любом значении стоящей впереди константы приводит сразу к выводу, что траектории с отличаются на и пересекают ось ординат в точках соответственно. Этот результат следует также из формулы Венециано вместе с условием Адлера [15, 16]. Отметим, что при

интерполяции по если значение остается фиксированным вдоль траектории, имеет место интерполяция между физическими значениями

Как рассмотренная схема соответствует экспериментальным фактам?

Фиг. 1. Диаграмма — Фраучи для мезонных траекторий соответствующих -модели. Каждая точка при целом на каждой из двух внешних траекторий представляет два состояния, каждая точка на внутренней траектории представляет четыре состояния (кроме точки где их два), квантовые числа которых можно найти в табл. 1.

Известно, что в случае траекторий ситуация оказывается хорошей вырождение почти выполняется для экспериментальных значений масс. О траекториях

имеется мало данных. Если массы частиц равны то вырождение, показанное на фиг. 1, реализуется только приближенно. Как и в модели Венециано, главная трудность связана с траекториями с которые, по-видимому, далеки от идеального смешивания, что ясно из большой разницы масс я- и -мезонов. Более того, в экспериментах фактически Очевидно, в природе дуальность нарушена. Почему она нарушена гораздо сильнее для траекторий с неестественной четностью, чем для траекторий с естественной четностью, остается не выясненным.

Заключительное замечание. Здесь мы ставили только вопрос о том, какие ограничения накладывает требование дуальности на заданную систему мезонных траекторий, возникающих в модели кварков. Но существует и совершенно другой вопрос: допускают ли уравнения для общих адронных процессов, вытекающие из требования дуальности, такие решения, в которых получается только эта система траекторий, или все решения содержат дополнительные состояния, не возникающие в модели кварков? Имеются указания на то, что справедливо последнее утверждение [18, 19].

Я благодарен проф. Дж. де Сварту за чтение рукописи и некоторые полезные замечания.

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)

(см. скан)