8. ДУАЛЬНОСТЬ И МОДЕЛЬ КВАРКОВ ДЛЯ МЕЗОНОВ
Я. Коккеда
Согласно принципу дуальности в физике сильных взаимодействий [1—5], существуют два приближенных, дополнительных способа описания двухчастичной амплитуды рассеяния
а именно, либо в виде суммы полюсов, соответствующих резонансам в прямом канале (
-канале), либо в виде суммы членов, соответствующих обменам полюсами Редже в кросс-канале (в дальнейшем везде рассматривается
-канал). Дуальность вместе с представлением [6] о том, что возможные вклады нерезонансного фона в прямом канале связаны с обменом полюсом Померанчука, приводит к соотношению
где скобки
обозначают «полулокальное» среднее вклада резонанса, а в выражении
исключен вклад от обмена полюсом Померанчука в
-канале.
Из соотношения (1) немедленно следует, что если в прямом канале не существует резонансов (экзотический канал, см. нкже), так что
то
Лредже
Это накладывает жесткие ограничения на полюса Редже в
-канале. Находим, что траектории должны появляться в виде вырожденных пар (обменное вырождение) с определенными соотношениями между вершинными частями. В недавних статьях [1—5, 7—11] приводится множество иллюстраций к этому утверждению как для мезонных, так и для барионных траекторий.
В этой заметке мы рассматриваем следствия соотношения (1) и факта отсутствия экзотических резонансов для полной системы мезонных траекторий, появляющихся в нерелятивистской модели кварков. В этой модели мезонные состояния рассматриваются как связанные состояния пары кварк — антикварк
с орбитальным моментом
Известно, что эта модель вместе с соответствующей моделью
Для барионов объясняет наблюдаемый спектр адронов. Экзотическими называются состояния,
учесть вклады только траекторий с
и 1, то получаем
где символ
выделяет часть амплитуды, четную (нечетную) относительно кроссинг-преобразования.
Первый из процессов (4) относится к классу экзотических, остальные два неэкзотические. Поэтому как следствие соотношений (1) мы ожидаем
Из соотношений (5) следует, что для выполнения этих условий должна иметь место компенсация между вкладами
а также между
Кроме соотношений между вычетами, которые мы здесь явно не рассматриваем, это требует, чтобы были вырождены траектории Редже с противоположной сигнатурой и различным изоспином (равным нулю или единице). Конечно, из процессов (3) мы получаем только условия для траекторий с одной и той же
-четностью. Более того, мы должны потребовать, чтобы компенсация имела место независимо для траекторий с положительной и отрицательной нормальностью
как это следует уже из рассмотрения процессов, в которых в
-канале появляются траектории только одного типа. Наконец, мы предполагаем, что для
траекторий с
вырождение наблюдается между теми из них, которые при данном
имеют одинаковые значения
Этот выбор представляется наиболее естественным, поскольку при данном
мы ожидаем, что массы (
-состояний увеличиваются с ростом
Другими словами, на диаграмме Чу - Фраучи траектории
находятся, по-видимому, гораздо правее траекторий
а траектории
лежат где-то между ними. Таким образом, ожидается, что в мезонных процессах внутри одного семейства
связаны только траектории с противоположной сигнатурой и различным изоспином; мы имеем
Если потребовать, чтобы состояния с
из данного нонета имели различные массы и, следовательно, различные траектории, то из траекторий с
в каждом из условий (7) только одна может быть вырожденной с соответствующей траекторией с
Следовательно, вторая не должна быть связана с процессом (3). Это требует
«идеального» смешивания во всех нонетах, означающего, что при любой комбинации
состояния из траекторий
должны иметь кварковую структуру
В этом случае, записывая
где
представляет величину нарушения
(
-симметрии мы приходим к следующим массовым соотношениям, вытекающим из модели кварков:
Используя эти соотношения вместе с условиями (7), мы получаем следующую схему вырождения нестранных
траекторий:
где первая строчка хорошо известна [7—11]. Все траектории X не связаны с нестранными мезонами. Однако они входят в реакции, включающие только странные мезоны. При этом отсутствие в таких процессах резонансов в каналах со странностью ±2 объясняется вырождением этих траекторий, которое показано в соотношениях (9).
Аналогичное вырождение имеет место в случае траекторий К. Имеем
Соотношения (8) и (10) можно объединить, записав
где
— число А, (
-кварков в
-состоянии.
Полученные результаты не противоречат условиям, следующим из применения дуальности к процессам с участием барионов, таким, как
или
— нуклон), где в том и другом случае в
-канале не существует резонансов. Рассмотрим, например, последний процесс. Мнимая часть вклада резонансов в каждую из пяти независимых спиральных амплитуд
-канала равна нулю при каждом значении изоспина в
-канале. Из кроссинговых свойств этих амплитуд можно показать, что это приводит к условиям, включающим траектории с одинаковыми изоспином и нормальностью, противоположной
-четностью и противоположной сигнатурой, а именно
замечания, предшествующие (7)]:
Эти условия не противоречат (7), (8) и (9).
Отметим, что при объединении условий (7) и (12) мы приходим к выводу, что из существования наблюдавшихся
траекторий
следует существование пока не наблюдавшихся траекторий
Предположим теперь, что все траектории линейны и параллельны друг другу с одинаковым наклоном
Это значение наклона получено в модели Венециано [14] и близко к экспериментальному значению. Поскольку
(массовая формула Вейнберга), мы получаем дополнительный результат, что (при фиксированном
траектории
совпадают с траекториями
не зависит от
Если сверх того траектории
при фиксированном
(их квантовые числа одинаковы) отличаются на
как это имеет место в модели Венециано, где одна из них является дочерней траекторией относительно другой, то мы приходим к схеме, показанной на фиг. 1. Мы положили
Нарисованы только траектории с
Траектории
получаются из них параллельным переносом на
и 26 соответственно.
Соответствующий этой фигуре спектр содержит, кроме двух псевдоскалярных состояний при
(ср. примечание 1 на стр. 331), еще по четыре состояния при каждом ненулевом значении
кратном
а именно: 1) при
состояния ей
состояния
при
состояния
а также два еще не открытых изоскалярных состояния с квантовыми числами
которые могут распадаться на
соответственно; 3) при
состояния
а также еще, два пока не открытых состояния с
с квантовыми числами
и
-мезонов и т. д.
Любопытная эмпирическая формула, воспроизводящая схему фиг. 1, имеет вид
Зависимость
от
при любом значении стоящей впереди константы приводит сразу к выводу, что траектории с
отличаются на
и пересекают ось ординат в точках
соответственно. Этот результат следует также из формулы Венециано вместе с условием Адлера [15, 16]. Отметим, что при
имеется мало данных. Если массы частиц
равны
то вырождение, показанное на фиг. 1, реализуется только приближенно. Как и в модели Венециано, главная трудность связана с траекториями с
которые, по-видимому, далеки от идеального смешивания, что ясно из большой разницы масс я- и
-мезонов. Более того, в экспериментах
фактически
Очевидно, в природе дуальность нарушена. Почему она нарушена гораздо сильнее для траекторий с неестественной четностью, чем для траекторий с естественной четностью, остается не выясненным.
Заключительное замечание. Здесь мы ставили только вопрос о том, какие ограничения накладывает требование дуальности на заданную систему мезонных траекторий, возникающих в модели кварков. Но существует и совершенно другой вопрос: допускают ли уравнения для общих адронных процессов, вытекающие из требования дуальности, такие решения, в которых получается только эта система траекторий, или все решения содержат дополнительные состояния, не возникающие в модели кварков? Имеются указания на то, что справедливо последнее утверждение [18, 19].
Я благодарен проф. Дж. де Сварту за чтение рукописи и некоторые полезные замечания.
ЛИТЕРАТУРА
(см. скан)