Глава 3. ГРУППА SU(6)

До сих пор мы не рассматривали возможности того, что гипотетические частицы — кварки обладают спином. Однако если мы хотим использовать кварки в качестве строительных блоков для адронов почти так же, как нуклоны составляют ядра (что мы и делаем в нерелятивистской модели кварков, описанной в следующих главах), то мы должны предположить, что кварки обладают спином. Мы предполагаем, что кварки являются фермионами и имеют спин Это предположение представляется наиболее естественным ввиду того, что спин низших мезонных состояний равен 0 или 1, а спин низших барионных состояний равен 1/2 или 3/2. Тогда в нерелятивистском описании мы имеем шесть кварковых состояний, которые мы рассматриваем как компоненты шестимерного ковариантного спинора

Здесь означает, что спин состояния направлен вверх, а — что спин направлен вниз. Линейные преобразования принадлежащие группе действуют на этот базисный спинор и образуют линейные комбинации состояний в точности так же, как в случаях и рассмотренных в предыдущих главах.

Соответствующий контравариантный спинор определяется таким образом, чтобы было скаляром при действии преобразований Системы составляют базисные мультиплеты 6 и 6 группы -мультиплеты мы обозначаем

курсивными цифрами, -мультиплеты — цифрами в фигурных скобках.)

Высшие мультиплеты мы получаем, образуя прямые произведения базисных спиноров. Имеем 36 состояний пары кварк — антикварк

которые, как легко видеть, разбиваются на два мультиплета, т. е. на базисы неприводимых представлений группы а именно на синглет и 35-плет

что представляет собой обобщение формулы (2.8) на случай группы Полный спин синглета, конечно, равен нулю. -плет имеет следующее содержание: восемь состояний, образующие -октет, с полным спином, равным нулю (спины кварков антипараллельны); 24 состояния с полным спином, равным единице (спины кварков параллельны), также образующие -октет, причем каждое состояние из этого октета имеет три спиновых состояния; наконец, три состояния с полным спином, равным единице, образующие -синглет. Это легко продемонстрировать [6], записав

где в явном виде показаны -мультиплеты и значение спина, равное 1/2, фундаментальных секстетов. Теперь мы воспользуемся формулами (2.8) и (3.2), а также правилами сложения углового момента, и получим

Если подсчитать число состояний в левой и правой частях второго соотношения, различая при этом спиновые состояния с разными — полный спин), то в качестве единственной возможности получим

что соответствует сделанному выше утверждению.

Обобщенное на случай группы соотношение (2.17) имеет вид

Для вывода этой формулы мы начинаем с соотношения

которое выражает тот факт, что из 36 произведений можно построить одну систему из 15 антисимметричных комбинаций и одну систему из 21 симметричной комбинации, причем каждая система образует мультиплет. Следовательно,

126 состояний, содержащихся в 21 X 6, представляют собой состояния типа где индекс показывает, что это произведение симметрично по переменным А и В. Эту систему можно разбить на две неприводимые системы, а именно на систему, содержащую 56 состояний, которые симметричны по всем трем переменным, и систему из 70 состояний, обладающих смешанными свойствами симметрии. Таким образом,

аналогично

где состояния, которые содержатся в 20, полностью антисимметричны. Объединяя эти результаты, мы приходим к (3.4).

-мультиплеты, содержащиеся в правой части этого соотношения, можно найти тем же методом, который привел к соотношениям (3.3). Используя (2.14), получаем

Рассматривая размерности, мы делаем вывод

Отсюда, используя формулу получаем

Это соотношение показывает, что

Подобным же образом находим

Наиболее интересным для нас мультиплетом в правой части соотношения (3.4) является мультиплет 56, так как он содержит основные состояния бариона. Из (3.8а) мы видим, что 56 включает в себя -октет со спином 1/2 и декуплет со спином 3/2. Как говорилось выше, выраженные через три кварка состояния, принадлежащие 56, полностью симметричны по переменным А, В и С. Отметим, что состояния декуплета (3.8а) симметричны отдельно по -переменным [см. (2.15)] и по спиновым переменным. Для октета это утверждение несправедливо.