Главная > Теория кварков (Коккедэ Я.)
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

Глава 3. ГРУППА SU(6)

До сих пор мы не рассматривали возможности того, что гипотетические частицы — кварки обладают спином. Однако если мы хотим использовать кварки в качестве строительных блоков для адронов почти так же, как нуклоны составляют ядра (что мы и делаем в нерелятивистской модели кварков, описанной в следующих главах), то мы должны предположить, что кварки обладают спином. Мы предполагаем, что кварки являются фермионами и имеют спин Это предположение представляется наиболее естественным ввиду того, что спин низших мезонных состояний равен 0 или 1, а спин низших барионных состояний равен 1/2 или 3/2. Тогда в нерелятивистском описании мы имеем шесть кварковых состояний, которые мы рассматриваем как компоненты шестимерного ковариантного спинора

Здесь означает, что спин состояния направлен вверх, а — что спин направлен вниз. Линейные преобразования принадлежащие группе действуют на этот базисный спинор и образуют линейные комбинации состояний в точности так же, как в случаях и рассмотренных в предыдущих главах.

Соответствующий контравариантный спинор определяется таким образом, чтобы было скаляром при действии преобразований Системы составляют базисные мультиплеты 6 и 6 группы -мультиплеты мы обозначаем

курсивными цифрами, -мультиплеты — цифрами в фигурных скобках.)

Высшие мультиплеты мы получаем, образуя прямые произведения базисных спиноров. Имеем 36 состояний пары кварк — антикварк

которые, как легко видеть, разбиваются на два мультиплета, т. е. на базисы неприводимых представлений группы а именно на синглет и 35-плет

что представляет собой обобщение формулы (2.8) на случай группы Полный спин синглета, конечно, равен нулю. -плет имеет следующее содержание: восемь состояний, образующие -октет, с полным спином, равным нулю (спины кварков антипараллельны); 24 состояния с полным спином, равным единице (спины кварков параллельны), также образующие -октет, причем каждое состояние из этого октета имеет три спиновых состояния; наконец, три состояния с полным спином, равным единице, образующие -синглет. Это легко продемонстрировать [6], записав

где в явном виде показаны -мультиплеты и значение спина, равное 1/2, фундаментальных секстетов. Теперь мы воспользуемся формулами (2.8) и (3.2), а также правилами сложения углового момента, и получим

Если подсчитать число состояний в левой и правой частях второго соотношения, различая при этом спиновые состояния с разными — полный спин), то в качестве единственной возможности получим

что соответствует сделанному выше утверждению.

Обобщенное на случай группы соотношение (2.17) имеет вид

Для вывода этой формулы мы начинаем с соотношения

которое выражает тот факт, что из 36 произведений можно построить одну систему из 15 антисимметричных комбинаций и одну систему из 21 симметричной комбинации, причем каждая система образует мультиплет. Следовательно,

126 состояний, содержащихся в 21 X 6, представляют собой состояния типа где индекс показывает, что это произведение симметрично по переменным А и В. Эту систему можно разбить на две неприводимые системы, а именно на систему, содержащую 56 состояний, которые симметричны по всем трем переменным, и систему из 70 состояний, обладающих смешанными свойствами симметрии. Таким образом,

аналогично

где состояния, которые содержатся в 20, полностью антисимметричны. Объединяя эти результаты, мы приходим к (3.4).

-мультиплеты, содержащиеся в правой части этого соотношения, можно найти тем же методом, который привел к соотношениям (3.3). Используя (2.14), получаем

Рассматривая размерности, мы делаем вывод

Отсюда, используя формулу получаем

Это соотношение показывает, что

Подобным же образом находим

Наиболее интересным для нас мультиплетом в правой части соотношения (3.4) является мультиплет 56, так как он содержит основные состояния бариона. Из (3.8а) мы видим, что 56 включает в себя -октет со спином 1/2 и декуплет со спином 3/2. Как говорилось выше, выраженные через три кварка состояния, принадлежащие 56, полностью симметричны по переменным А, В и С. Отметим, что состояния декуплета (3.8а) симметричны отдельно по -переменным [см. (2.15)] и по спиновым переменным. Для октета это утверждение несправедливо.

Categories

1
Оглавление
email@scask.ru