ПРЕДИСЛОВИЕ

Предлагаемая вниманию читателя книга посвящена интегральному исчислению функций одной переменной и является третьей в серии учебных пособий по математическому анализу, предназначенных для студентов-заочников. Ранее вышли в свет книги Н. Я. Виленкина и Е. С. Куницкой «Математический анализ. Введение в анализ», М., «Просвещение». 1973 (ниже цитируется как «Введение в анализ») и Н. Я. Виленкина, Е. С. Куницкой и А. Г. Мордковича «Математический анализ. Дифференциальное исчисление», М., «Просвещение», 1978 (ниже цитируется как «Дифференциальное исчисление»).

Значение раздела «Интегральное исчисление» для будущего учителя математики определяется в первую очередь тем, что соответствующие вопросы изучаются теперь в средней школе. Поэтому главной задачей авторов было выяснение тех основных понятий, которые нужны для школьного преподавания, строгое доказательство утверждений, которые в школе лишь поясняются. Это определило то, что главное внимание уделяется существу разбираемых вопросов, естественно-научным и геометрическим истокам вводимых понятий, а техника вычисления интегралов играет подчиненную роль.

По мнению авторов, вопрос о выражении интегралов через элементарные функции, игравший столь большую роль в математике XVIII и начала XIX в., сейчас можно считать устаревшим, так как наряду с элементарными функциями в математике широко используются различные классы специальных функций, а при вычислении интегралов применяют таблицы неопределенных интегралов. Поэтому авторы сократили часть, посвященную неопределенным интегралам. Например, в пособии ничего не говорится о подстановках Эйлера, биномиальных дифференциалах и о некоторых искусственных приемах интегрирования. Чтобы облегчить студентам вычисление интегралов, в Приложении 1 приведена таблица неопределенных интегралов, составленная на основе имеющейся в «Справочнике по математике» И. Н. Бронштейна и К. А. Семендяева.

В то же время усилена часть, касающаяся принципиальных вопросов курса: понятий площади плоской фигуры, объема тела, длины дуги и площади поверхности. При этом основное внимание

уделяется не вычислительным формулам, а существу этих понятий, их свойствам.

Отметим некоторые методические особенности книги. Понятия неопределенного и определенного интегралов появляются одновременно, причем определенный интеграл трактуется как разность значений первообразной. Это вызвано тем, что именно такой подход к понятию определенного интеграла принят сейчас в школе. Во второй главе вводится понятие интегрируемой функции и развивается иной подход к понятию определенного интеграла, основанный на том, что определенный интеграл разделяет множества нижних и верхних сумм Дарбу. Авторы в основном отказались от рассмотрения интегральных сумм и традиционного определения интеграла как предела интегральных сумм. Как известно, пределы интегральных сумм являются пределами особого рода (пределами по фильтру) и справедливость для них обычных свойств пределов остается обычно недоказанной. По мнению авторов, выбранный ими подход к понятию определенного интеграла нагляднее и проще усваивается студентами. Доказывается, что непрерывные функции интегрируемы и имеют первообразную, причем в классе непрерывных функций оба подхода к понятию интеграла приводят к одному и тому же результату. Это свидетельствует о том, что определенные интегралы от непрерывных функций обладают свойствами, доказанными в первой главе для интегралов от функций, имеющих первообразную.

Третья глава посвящена геометрическим и физическим приложениям определенного интеграла. В примерах приложений интегрального исчисления к решению физических задач авторы позволили себе использовать «язык бесконечно малых», применяемый и в настоящее время в книгах по физике. Как известно, несмотря на нестрогость этого языка, он обладает достоинствами наглядности и простоты применения.

Книга состоит из трех глав, разбитых на параграфы, которые, в свою очередь, делятся на пункты. Нумерация определений, теорем и формул сохраняется в пределах параграфа. Каждый пункт содержит, помимо теоретического материала, подробно решенные примеры (их нумерация сохраняется в пределах параграфа), а в конце каждого параграфа приведены вопросы для самопроверки и упражнения. Нумерация упражнений сквозная. Количество упражнений, на наш взгляд, является достаточным для проведения аудиторных занятий и для составления заданий студентам на межсессионный период.

В Приложении 2 приведены примерные варианты контрольной работы и образец выполнения «нулевого» варианта работы.