§ 4. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

1. Интегралы с бесконечным промежутком интегрирования.

Для существования определенного интеграла необходимо, чтобы промежуток интегрирования был конечен, а подынтегральная функция ограничена на нем — в противном случае множество сумм Дарбу не будет ограниченным. При решении задач встречаются случаи, когда одно или оба из этих условий не выполняются, т. е. когда промежуток интегрирования бесконечен или подынтегральная функция не ограничена. Такие интегралы называются несобственными. Различают несобственные интегралы 1-го и 2-го рода в зависимости от того, имеем ли мы дело с бесконечностью промежутка интегрирования или с неограниченностью подынтегральной функции.

Хотя несобственные интегралы и нельзя рассматривать как разделяющие числа для сумм Дарбу, иногда им можно придать определенный смысл с помощью дополнительного предельного перехода. Начнем со случая, когда промежутком интегрирования является луч Предположим, что функция интегрируема на каждой конечной части луча, т. е. что для любого существует интеграл .

Рис. 18

За значение интеграла естественно принять предел функции когда с стремится к т. е. когда промежуток интегрирования стремится заполнить весь луч (рис. 18).

Может, однако, случиться, что этот предел не существует. Поэтому будем различать два случая:

а) Если предел существует и конечен, то несобственный интеграл называют сходящимся, а значение этого предела — значением несобственного интеграла. В этом случае

б) Если предел в правой части равенства (1) не существует, говорят, что несобственный интеграл расходится.

При аналогичных предположениях относительно функции можно рассмотреть случай, когда верхний предел фиксирован, а нижний предел стремится к

Если предел, стоящий в правой части равенства (2), конечен, то несобственный интеграл называют сходящимся, в противном случае его называют расходящимся.

Наконец, можно определить и несобственный интеграл вида

Будем считать, что функция интегрируема на всей числовой прямой. Выберем на прямой произвольную точку а. Эта точка разобьет прямую на два луча: Если существуют несобственные интегралы

то говорят, что существует и несобственный интеграл

В этом случае полагают

где несобственные интегралы, содержащиеся в правой части равенства (3), определены соответственно равенствами (1) и (2). Легко проверить, что значение интеграла не зависит от выбора точки а.

Пример 1. Вычислим

Решение. Подынтегральная функция всюду непрерывна и, следовательно, интегрируема в любом конечном промежутке. Имеем:

Пример 2. Вычислим

Решение. Имеем:

Так как не существует, то несобственный интеграл расходится.

Запись вычислений несобственных интегралов можно упростить, предварительно найдя первообразную для подынтегральной функции Именно, если — первообразная функция для то

Предположим, что существует предел Введем обозначение: . Тогда

Аналогично,

где . Наконец,

Пример 3. Вычислим

Решение. Имеем:

Пример 4. Исследуем на сходимость

Решение. Если то

Если то

Сходимость или расходимость интеграла зависит от того, существует или нет предел Если . Таким образом, — сходится, если и расходится, если

При исследовании на сходимость несобственных интегралов оказываются полезными следующие утверждения:

а) Если сходится интеграл то при сходится и интеграл При этом

б) Если сходятся интегралы то и интеграл сходится, причем