Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 4. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ1. Интегралы с бесконечным промежутком интегрирования.Для существования определенного интеграла необходимо, чтобы промежуток интегрирования был конечен, а подынтегральная функция ограничена на нем — в противном случае множество сумм Дарбу не будет ограниченным. При решении задач встречаются случаи, когда одно или оба из этих условий не выполняются, т. е. когда промежуток интегрирования бесконечен или подынтегральная функция не ограничена. Такие интегралы называются несобственными. Различают несобственные интегралы 1-го и 2-го рода в зависимости от того, имеем ли мы дело с бесконечностью промежутка интегрирования или с неограниченностью подынтегральной функции. Хотя несобственные интегралы и нельзя рассматривать как разделяющие числа для сумм Дарбу, иногда им можно придать определенный смысл с помощью дополнительного предельного перехода. Начнем со случая, когда промежутком интегрирования является луч
Рис. 18 За значение интеграла Может, однако, случиться, что этот предел не существует. Поэтому будем различать два случая: а) Если предел
б) Если предел в правой части равенства (1) не существует, говорят, что несобственный интеграл При аналогичных предположениях относительно функции
Если предел, стоящий в правой части равенства (2), конечен, то несобственный интеграл Наконец, можно определить и несобственный интеграл вида Будем считать, что функция
то говорят, что существует и несобственный интеграл В этом случае полагают
где несобственные интегралы, содержащиеся в правой части равенства (3), определены соответственно равенствами (1) и (2). Легко проверить, что значение интеграла не зависит от выбора точки а. Пример 1. Вычислим Решение. Подынтегральная функция
Пример 2. Вычислим Решение. Имеем:
Так как Запись вычислений несобственных интегралов можно упростить, предварительно найдя первообразную для подынтегральной функции
Предположим, что существует предел
Аналогично,
где
Пример 3. Вычислим Решение. Имеем:
Пример 4. Исследуем на сходимость Решение. Если
Если
Сходимость или расходимость интеграла При исследовании на сходимость несобственных интегралов оказываются полезными следующие утверждения: а) Если сходится интеграл
б) Если сходятся интегралы
|
1 |
Оглавление
|