3. Свойства нижних и верхних сумм Дарбу.

Для того чтобы данное в определение интеграла имело смысл, надо доказать, что множество верхних сумм Дарбу действительно расположено справа от множества нижних сумм Дарбу.

Лемма 1. Для каждого разбиения Р соответствующая нижняя сумма Дарбу не превосходит верхней суммы Дарбу,

Доказательство. Рассмотрим некоторое разбиение Р отрезка

Очевидно, что для любого и для любого выбранного разбиения Р выполняется неравенство Следовательно, и потому

что и требовалось доказать.

Неравенство (4) справедливо лишь для фиксированного разбиения Р. Поэтому пока еще нельзя утверждать, что нижняя сумма Дарбу одного разбиения не может превзойти верхнюю сумму Дарбу другого разбиения. Для доказательства этого утверждения нам понадобится следующая лемма:

Лемма 2. От добавления новой точки деления нижняя сумма Дарбу не может уменьшиться, а верхняя сумма не может увеличиться.

Доказательство. Выберем некоторое разбиение Р отрезка и добавим к нему новую точку деления Обозначим новое разбиение Р. Разбиение Р является измельчением разбиения Р, т. е. каждая точка разбиения Р является, одновременно и точкой разбиения Р.

Пусть точка попала на отрезок Рассмотрим два образовавшихся отрезка и обозначим соответствующие им точные нижние границы значений функции через тк и а точные верхние границы через и М.

Слагаемому первоначальной нижней суммы Дарбу в новой нижней сумме Дарбу соответствуют два слагаемых:

Рис. 7

При этом так как — точная нижняя граница значений функции на всем отрезке лишь на его частях соответственно. Оценим снизу сумму полученных слагаемых:

Так как остальные слагаемые и в старой и в новой нижних суммах Дарбу остались неизменными, то нижняя сумма Дарбу от добавления новой точки деления не уменьшилась,

Доказанное утверждение остается справедливым и при добавлении любого конечного числа точек к разбиению Р.

Аналогично доказывается утверждение о верхней сумме Дарбу:

Перейдем к сравнению сумм Дарбу для любых двух разбиений.

Лемма 3. Ни одна нажняя сумма Дарбу не превосходат любой верхней суммы Дарбу (хотя бы отвечающей другому разбиению отрезка

Доказательство. Рассмотрим два произвольных разбиения отрезка и образуем третье разбиение состоящее из всех точек разбиений Таким образом, разбиение является измельчением как разбиения так и разбиения (рис. 7).

Обозначим нижние и верхние суммы Дарбу для этих разбиений соответственно и докажем, что

Так как — измельчение разбиения то Далее, поскольку суммы соответствуют одному и тому же разбиению. Наконец, так как является измельчением разбиения

Таким образом,

т. е. , что и требовалось доказать.

Из леммы 3 следует, что числовое множество нижних сумм Дарбу лежит левее числового множества верхних сумм Дарбу.

В силу теоремы о существовании разделяющего числа для двух числовых множеств, найдется хотя бы одно число раз деляющее множества X и т. е. такое, что для любого разбиения отрезка выполняется двойное неравенство:

Если это число единственно, то

Приведем пример, показывающий, что такое число вообще говоря, не является однозначно определенным. Напомним, что функцией Дирихле называют функцию на отрезке [0; 1], определяемую равенствами:

Какой бы отрезок мы ни взяли, на нем найдутся и рациональные, и иррациональные точки, т. е. и точки, где и точки, где Поэтому для любого разбиения отрезка [0; 1] все значения равны нулю, а все значения равны единице. Но тогда все нижние суммы Дарбу равны нулю, а все верхние суммы Дарбу равны единице, так как

— длина отрезка [0; 1]. Итак, в рассматриваемом случае и любое число из промежутка [0; 1] разделяет множества X и Y. Значит, функция Дирихле не является интегрируемой на отрезке [0; 1].