Глава III. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
Мы уже отмечали, что с помощью определенных интегралов можно вычислять площади фигур, объемы тел, длины дуг и т. д. В этой главе будут выведены формулы, позволяющие решать такие задачи. При этом будут даны определения каждого из изучаемых понятий.
§ 1. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ ПЛОСКИХ ФИГУР
1. Внешние, внутренние и граничные точки плоских множеств.
Выше мы неоднократно использовали понятие площади плоской фигуры, опираясь на его интуитивное толкование. В этом параграфе мы дадим определение понятия площади плоской фигуры, установим свойства площадей и опишем класс фигур, имеющих площадь. Для этого введем несколько понятий, относящихся к плоским фигурам, т. е. к множествам, состоящим из точек плоскости.
Напомним, что открытым кругом с центром а и радиусов 
называют множество 
точек плоскости, расстояние которых от точки а меньше Г. Любой открытый круг с центром а называют окрестностью точки а.
Пусть на плоскости задано некоторое множество X. Назовем точку а этого множества внутренней, если существует окрестность этой точки, целиком содержащаяся в X. Точку плоскости называют внешней точкой для этого множества, если у нее есть окрестность, не содержащая ни одной точки множества X. Наконец, точки плоскости, не являющиеся ни внутренними, ни внешними для множества X, называют граничными точками этого множества. Граничные точки могут как принадлежать множеству X, так и не принадлежать ему. Совокупность граничных точек множества X образует границу этого множества. Если все граничные точки множества X принадлежат этому множеству, то его называют замкнутым, а если ни одна граничная точка не принадлежит множеству X, то его называют открытым.
На рисунке 20 изображен квадрат. Точка 
является внутренней для этого квадрата, точка 
— внешней, а точка 
— граничной. Граница квадрата состоит из отрезков 
В дальнейшем будем говорить, что фигуры 
и 
налегают друг на друга, если у них есть хоть одна общая внутренняя точка (рис. 21).
Рис. 20
Рис. 21
Если фигура 
является объединением попарно не налегающих друг на друга фигур 
то говорят, что 
разбита на фигуры 
при этом не исключается, что некоторые из них имеют общие граничные точки (рис. 22).
