2. Квадрируемые области.

Перейдем к определению понятия площади. Выберем на плоскости прямоугольную декартову систему координат Назовем прямоугольник допустимым, если его стороны параллельны осям координат, причем не будем исключать и вырожденные прямоугольники, т. е. прямоугольники, у которых длина одной или обеих сторон равна нулю. Подмножество плоскости, которое можно разбить на конечное число допустимых прямоугольников, назовем ступенчатой фигурой (рис. 23). Очевидно, что объединение и пересечение двух ступенчатых фигур являются ступенчатыми фигурами.

Назовем площадью допустимого прямоугольника произведение длин его сторон:

При этом площадь вырожденного прямоугольника равна нулю. Очевидно, что если прямоугольник разбит на два прямоугольника (рис. 24), то площадь всего прямоугольника равна сумме площадей его частей:

Рис. 22

Рис. 23

Рис. 24

Вообще, если прямоугольник разбит на конечное число прямоугольников то

Кроме того, если прямоугольник получается из прямоугольника параллельным переносом, то

Отметим, что квадрат со стороной, равной 1, имеет площадь, равную 1.

Определим далее площадь ступенчатой фигуры. Пусть ступенчатая фигура разбита на прямоугольники

Положим тогда

Одна и та же ступенчатая фигура может разбиваться на прямоугольники различными способами. Легко доказать, что ее площадь не зависит от способа разбиения.

Мы определили функцию на множестве ступенчатых фигур. Она обладает следующими свойствами:

а) Если ступенчатые фигуры не имеют общих внутренних точек, то

б) Если ступенчатая фигура получается из ступенчатой фигуры параллельным переносом, то

Предоставляем читателю доказать эти утверждения.

Из свойства а), в частности, следует, что если — ступенчатые фигуры и . В самом деле, если присоединить к граничные точки, то получится ступенчатая фигура не налегающая на и такая, что Значит,

Совокупность ступенчатых фигур не охватывает таких фигур, как, например, треугольник, параллелограмм общего вида, круг, эллипс. Даже повернутый прямоугольник уже не является ступенчатой фигурой (стороны ступенчатой фигуры параллельны осям координат). Поэтому надо распространить понятие площади на более широкий класс фигур.

Возьмем на плоскости фигуру А и поставим ей в соответствие два числовых множества. Множество состоит из площадей ступенчатых фигур, все точки которых принадлежат фигуре А, а множество из площадей ступенчатых фигур, содержащих фигуру А. Очевидно, что множество расположено слева от

Рис. 25

Рис. 26

множества Поэтому существует хотя бы одно число, разделяющее эти множества.

Введем следующее определение.

Определение. Фигура А называется квадрируемой (имеющей площадь), если соответствующие ей числовые множества разделяются единственным числом. Это единственное число разделяющее назовем площадью фигуры А.

Применяя критерий единственности разделяющего числа, получаем необходимое и достаточное условие квадрируемости фигуры А:

Для того чтобы фигура А была квадрируемой, необходимо и достаточно, чтобы для любого нашлись такие ступенчатые фигуры что причем

Отметим, что граница фигуры А лежит в области, заключенной между границами ступенчатых фигур Эта область сама является ступенчатой фигурой (рис. 25). Поэтому указанное условие можно сформулировать и так:

Для того чтобы фигура А была квадрируемой, необходимо и достаточно, чтобы для любого границу фигуры А можно было заключить в ступенчатую фигуру, площадь которой меньше е.

Отметим следующее достаточное условие квадрируемости.

Теорема 1. Для того чтобы фигура А была квадрируемой, достаточно, чтобы ее граница состояла из конечного числа дуг являющихся графиками непрерывных функций Доказательство. Покажем сначала, что дугу , можно заключить в ступенчатую фигуру, имеющую сколь угодно малую площадь. Зададим Так как функция непрерывна на отрезке найдется разбиение этого отрезка такое, что для любого выполняется неравенство

где — соответственно наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке (см. выше, с. 61). Но тогда дуга целиком содержится в объединении прямоугольников, имеющих основания и высоты (рис. 26). Общая площадь этих прямоугольников не превосходит числа

Объединение этих прямоугольников образует ступенчатую фигуру, содержащую дугу Г и имеющую площадь, меньшую, чем е.

Поскольку граница фигуры А состоит из конечного числа таких дуг, ее тоже можно накрыть ступенчатой фигурой сколь угодно малой площади, и потому область квадрируема.

Например, круг квадрируем, так как его граница состоит из двух дуг, задаваемых уравнениями а эти функции непрерывны.

Иногда оказывается полезным следующее достаточное условие квадрируемости фигур.

Теорема 2. Если для любого найдутся такие квадрируемые фигуры что то фигура А тоже квадрируема.

Доказательство.

(см. скан)

Это и доказывает квадрируемость .