2. Интегрирование правильных дробей.

Рассмотрим правильную дробь где — многочлен степени Не теряя общности, можно считать, что старший коэффициент в равен 1. В курсе алгебры доказывается, что такой многочлен с действительными коэффициентами может быть разложен на множители первой и второй степени с действительными коэффициентами:

где — действительные корни многочлена а квадратные трехчлены не имеют действительных корней. Можно доказать, что тогда представляется в виде суммы простейших дробей вида 1)—4):

где показатели у знаменателей последовательно уменьшаются от — неопределенные коэффициенты. Для того чтобы найти эти коэффициенты, необходимо освободиться от знаменателей и, получив равенство двух многочленов, воспользоваться методом неопределенных коэффициентов.

Другой способ определения коэффициентов основан на подстановке значений переменной Подставляя в равенство, полученное из равенства (1) после освобождения от знаменателей, вместо любое число, придем к линейному уравнению относительно искомых коэффициентов. Путем подстановки необходимого количества таких частных значений переменной получим систему уравнений для отыскания коэффициентов. В качестве частных значений переменной удобнее всего выбирать корни знаменателя (как действительные, так и комплексные). При этом почти все члены в правой части равенства (имеется в виду равенство двух многочленов) обращаются в нуль, что позволяет легко находить оставшиеся коэффициенты. При подстановке комплексных значений следует иметь в виду, что два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны соответственно их действительные и мнимые части. Поэтому из каждого равенства, содержащего комплексные числа, получаются два уравнения.

После нахождения неопределенных коэффициентов остается вычислить интегралы от полученных простейших дробей. Так как при интегрировании простейших дробей получаются, как мы видели, лишь рациональные функции, арктангенсы и логарифмы, то интеграл от любой рациональной функции выражается через рациональную функцию, арктангенсы и логарифмы.

Пример 3. Вычислим

Решение. Разложим знаменатель подынтегральной функции на множители:

Выпишем подынтегральную функцию и представим ее в виде суммы простейших дробей:

Освободившись в этом равенстве от знаменателей, получим:

Для отыскания коэффициентов воспользуемся методом подстановки частных значений. Для нахождения коэффициента А положим Тогда из равенства (2) получим откуда Для отыскания коэффициента В положим Тогда из равенства (2) получим откуда

Итак,

Значит,

Пример 4. Вычислим

Решение. Выпишем подынтегральную функцию и представим ее в виде суммы простейших дробей. В знаменателе содержится множитель не имеющий действительных корней, ему соответствует дробь 2-го рода:

множителю соответствует сумма двух дробей 1-го рода:

наконец, множителю соответствует одна дробь 1-го рода Таким образом, подынтегральную функцию мы представим в виде суммы четырех дробей:

Освободимся в этом равенстве от знаменателей. Получим:

Знаменатель подынтегральной функции имеет два действительных корня При подстановке в равенство (4) значения х = 1 получаем откуда находим При

подстановке получаем и соответственно определяем Подстановка значения (корня многочлена ) позволяет перейти к равенству

Оно преобразуется к виду:

Решив систему двух уравнений с двумя переменными

находим:

Осталось определить значение коэффициента Для этого в равенстве (4) раскроем скобки, приведем подобные члены, а затем сравним коэффициенты при Получим:

Подставим найденные значения коэффициентов в равенство (3):

а затем перейдем к интегрированию: