Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
3. Интегрирование неравенств.В п. 2 § 2 было отмечено, что если
т. е.
Таким образом, мы проинтегрировали неравенство Теперь рассмотрим интегрирование неравенств в общем случае. На рисунке 17 каждая точка кривой А В лежит выше точки кривой а) Если для любого
Чтобы доказать это утверждение, не опираясь на понятие площади, рассмотрим сначала частный случай. Пусть
Для доказательства неравенства (6) в общем случае применим доказанный частный случай к функции По условию эта функция неотрицательна, и потому
Рис. 17
Но тогда
Таким образом, функциональные неравенства можно интегрировать (при В дальнейшем нам часто придется, не вычисляя интегралов, оценивать их значения. Для этого оказывается полезным следующее утверждение: б) Если функция
В самом деле, из непрерывности функции
а это и значит, что справедливо неравенство (7). Неравенство (7) является обобщением на интегралы свойства абсолютной величины суммы конечного числа слагаемых:
Условие непрерывности можно «ослабить»: неравенство (7) справедливо для любой интегрируемой функции Отметим, что из интегрируемости функции
неинтегрируема, а функция Доказанные утверждения позволяют производить оценку определенных интегралов. Пример 1. Оценим интеграл Решение. Так С помощью неравенства (5) оценим данный интеграл:
или, окончательно,
Пример 2. Сравним значения определенных интегралов Решение. Так как на отрезке [0; 1] выполняется неравенство
Вопросы для самопроверки1. Как вычисляется определенный интеграл от суммы двух непрерывных на отрезке 2. Как можно вычислить интеграл от четной функции по отрезку 3. Чему равен интеграл от нечетной функции по отрезку 4. Перечислите свойства определенного интеграла, выражаемые неравенствами. Дайте геометрическую иллюстрацию этих свойств. 5. Может ли интеграл от положительной функции по отрезку Упражнения(см. скан) (см. скан)
|
1 |
Оглавление
|