3. Интегрирование неравенств.

В п. 2 § 2 было отмечено, что если , то

т. е.

Таким образом, мы проинтегрировали неравенство .

Теперь рассмотрим интегрирование неравенств в общем случае. На рисунке 17 каждая точка кривой А В лежит выше точки кривой имеющей же абсциссу. Поэтому площадь криволинейной трапеций больше, чем площадь криволинейной трапеции Иными словами, справедливо следующее утверждение:

а) Если для любого на отрезке выполняется неравенство то

Чтобы доказать это утверждение, не опираясь на понятие площади, рассмотрим сначала частный случай.

Пусть . В этом случае а потому

Для доказательства неравенства (6) в общем случае применим доказанный частный случай к функции

По условию эта функция неотрицательна, и потому

Рис. 17

Но тогда

Таким образом, функциональные неравенства можно интегрировать (при ).

В дальнейшем нам часто придется, не вычисляя интегралов, оценивать их значения. Для этого оказывается полезным следующее утверждение:

б) Если функция непрерывна на отрезке то справедливо неравенство (при )

В самом деле, из непрерывности функции вытекает, что и функция непрерывна, а потому интеграл существует. При этом из неравенств получаем, что

а это и значит, что справедливо неравенство (7).

Неравенство (7) является обобщением на интегралы свойства абсолютной величины суммы конечного числа слагаемых:

Условие непрерывности можно «ослабить»: неравенство (7) справедливо для любой интегрируемой функции

Отметим, что из интегрируемости функции не следует интегрируемость функции . В самом деле, функция

неинтегрируема, а функция интегрируема на отрезке [0; 1].

Доказанные утверждения позволяют производить оценку определенных интегралов.

Пример 1. Оценим интеграл

Решение. Так то и потому

С помощью неравенства (5) оценим данный интеграл:

или, окончательно,

Пример 2. Сравним значения определенных интегралов

Решение. Так как на отрезке [0; 1] выполняется неравенство то

Вопросы для самопроверки

1. Как вычисляется определенный интеграл от суммы двух непрерывных на отрезке функций?

2. Как можно вычислить интеграл от четной функции по отрезку Дайте геометрическую иллюстрацию.

3. Чему равен интеграл от нечетной функции по отрезку

4. Перечислите свойства определенного интеграла, выражаемые неравенствами. Дайте геометрическую иллюстрацию этих свойств.

5. Может ли интеграл от положительной функции по отрезку где быть отрицательным?

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)