6. Площадь в полярных координатах.

Вычислим площадь сектора, ограниченного лучами выходящими из точки О, и непрерывной кривой Г (рис. 38). Выберем полярную систему координат, полюсом которой является точка О. Пусть — полярное уравнение кривой Г, а и Ф — углы между полярной осью и лучами соответственно. При этом пусть функция непрерывна на .

Разобьем данный сектор на частей лучами

и рассмотрим частичный сектор (рис. 39). Пусть —

Рис. 38

Рис. 39

наименьшее значение функции наибольшее значение функции в этом отрезке.

Построим два круговых сектора с радиусами Обозначим через величину угла рассматриваемого частичного сектора. Тогда площадь частичного криволинейного сектора будет заключена между площадями вписанного и описанного частичных круговых секторов

Построим аналогичным образом внутренние и внешние круговые секторы для всех частичных криволинейных секторов. Объединяя их, получим внутреннюю и внешнюю фигуры.

Площадь внутренней фигуры, состоящей из круговых секторов, равна — а площадь внешней фигуры равна — Эти выражения являются нижней и верхней суммами Дарбу для интеграла Так как функция непрерывна, то непрерывна, а потому и интегрируема функция Поэтому для любого найдется такое разбиение Р отрезка , что Из теоремы следует, что заданный криволинейный сектор квадрируем. При этом для его площади выполняются неравенства

В то же время по определению определенного интеграла

В силу единственности разделяющего числа из неравенств (6) и (7) следует, что

Пример 6. Вычислим площадь, ограниченную одним лепестком кривой (рис. 40).

Решение. Значениям соответствует

Поэтому

Рис. 40

Вопросы для самопроверки

1. Дайте определение внутренней, внешней и граничной точек фигуры.

2. Какие из точек, отмеченных на рисунке 41, являются внутренними, какие — внешними, а какие — граничными?

3. Дайте определение ступенчатой фигуры.

4. Какая фигура называется квадрируемой?

5. Сформулируйте необходимое и достаточное условие квадрируемости фигуры. Сформулируйте достаточные условия квадрируемости фигуры.

6. Перечислите свойства квадрируемых фигур.

7. Напишите формулу для вычисления площади плоской криволинейной трапеции, ограниченной прямыми осью и непрерывной кривой на

8. Как вычисляется площадь плоской фигуры, ограниченной прямыми и непрерывной кривой на

9. Как вычисляется площадь плоской фигуры, ограниченной кривой и двумя полярными радиусами?

10. Как вычисляется площадь в случае параметрического задания кривой?

Рис. 41

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)