Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 6. Площадь в полярных координатах.Вычислим площадь сектора, ограниченного лучами выходящими из точки О, и непрерывной кривой Г (рис. 38). Выберем полярную систему координат, полюсом которой является точка О. Пусть — полярное уравнение кривой Г, а и Ф — углы между полярной осью и лучами соответственно. При этом пусть функция непрерывна на .Разобьем данный сектор на частей лучами
и рассмотрим частичный сектор (рис. 39). Пусть —
Рис. 38
Рис. 39 наименьшее значение функции наибольшее значение функции в этом отрезке. Построим два круговых сектора с радиусами Обозначим через величину угла рассматриваемого частичного сектора. Тогда площадь частичного криволинейного сектора будет заключена между площадями вписанного и описанного частичных круговых секторов
Построим аналогичным образом внутренние и внешние круговые секторы для всех частичных криволинейных секторов. Объединяя их, получим внутреннюю и внешнюю фигуры. Площадь внутренней фигуры, состоящей из круговых секторов, равна — а площадь внешней фигуры равна — Эти выражения являются нижней и верхней суммами Дарбу для интеграла Так как функция непрерывна, то непрерывна, а потому и интегрируема функция Поэтому для любого найдется такое разбиение Р отрезка , что Из теоремы следует, что заданный криволинейный сектор квадрируем. При этом для его площади выполняются неравенства
В то же время по определению определенного интеграла
В силу единственности разделяющего числа из неравенств (6) и (7) следует, что
Пример 6. Вычислим площадь, ограниченную одним лепестком кривой (рис. 40). Решение. Значениям соответствует Поэтому
Рис. 40
Вопросы для самопроверки1. Дайте определение внутренней, внешней и граничной точек фигуры. 2. Какие из точек, отмеченных на рисунке 41, являются внутренними, какие — внешними, а какие — граничными? 3. Дайте определение ступенчатой фигуры. 4. Какая фигура называется квадрируемой? 5. Сформулируйте необходимое и достаточное условие квадрируемости фигуры. Сформулируйте достаточные условия квадрируемости фигуры. 6. Перечислите свойства квадрируемых фигур. 7. Напишите формулу для вычисления площади плоской криволинейной трапеции, ограниченной прямыми осью и непрерывной кривой на 8. Как вычисляется площадь плоской фигуры, ограниченной прямыми и непрерывной кривой на 9. Как вычисляется площадь плоской фигуры, ограниченной кривой и двумя полярными радиусами? 10. Как вычисляется площадь в случае параметрического задания кривой?
Рис. 41 Упражнения(см. скан) (см. скан) (см. скан)
|
1 |
Оглавление
|