2. Первообразная функция.

Определение 1. Пусть на некотором промежутке X задана функция Функция называется первообразной для на этом промежутке, если для всех

Следующая теорема позволяет свести нахождение всех первообразных данной функции к отысканию одной из них.

Теорема 1. Если функция имеет на промежутке X первообразную то и все функции вида будут для нее первообразными на том же промежутке. Обратно, любая первообразная для функции может быть представлена в виде , где одна из первообразных функций, произвольная постоянная.

Доказательство. По определению первообразной имеем Учитывая, что производная постоянной равна нулю, получаем:

Это и означает, что является первообразной для на промежутке X.

Покажем теперь, что если функция задана на промежутке X и — одна из первообразных для , то любая первообразная может быть представлена в виде

В самом деле, по определению первообразной имеем:

Но две функции, имеющие на промежутке X равные производные, отличаются лишь на постоянное слагаемое. Значит, что и требовалось доказать.