3. Несобственные интегралы 2-го рода.

Рассмотрим теперь случай, когда промежуток интегрирования конечен, но подынтегральная функция не ограничена на нем. Строение таких функций может быть очень сложным. Мы ограничимся рассмотрением случая, когда можно указать конечное множество особых точек таких, что в сколь угодно малых окрестностях этих точек функция не ограничена, но после удаления этих

Рис. 19

окрестностей получаем промежутки, на которых функция интегрируема.

Сначала изучим случай, когда множество особых точек состоит лишь из точки . В этом случае не ограничена на всем отрезке но интегрируема на любом из отрезков (рис. 19). За значение интеграла

естественно принять предел если этот предел существует.

Введем следующее определение:

Пусть функция не ограничена на отрезке но интегрируема на любом из отрезков где Несобственный интеграл называют сходящимся, если существует предел Значение этого предела и называют значением интеграла Если же этот предел не существует, то интеграл называют расходящимся.

Аналогично, если функция не ограничена на отрезке , но интегрируема на любом отрезке то полагаем

Наконец, если единственная особая точка с лежит внутри отрезка то положим

Пусть — первообразная для функции . Положим

(если эти пределы существуют). Тогда для сходящихся интегралов, у которых особыми являются лишь точки a и b, имеем:

Если функция непрерывна в точках а и то получаем:

Аналогично обстоит дело и в случае, когда подынтегральная функция не ограничена в любой окрестности некоторой внутренней точки отрезка

Пример 7. Вычислим интеграл

Решение. Этот интеграл является несобственным, так как функция не ограничена в любой окрестности точки Поскольку первообразная для функции равна то, пользуясь определением несобственного интеграла, получаем:

откуда, учитывая непрерывность функции

Пример 8. Вычислим

Решение. Подынтегральная функция внутри данного промежутка интегрирования имеет одну особую точку Найдем первообразную для подынтегральной функции:

Так как функция непрерывна в точке то

Пример 9. Вычислим

Решение. В данном случае подынтегральная функция имеет две особые точки Пользуясь определением несобственного интеграла и учитывая непрерывность первообразной, получаем, что

Пример 10. Исследуем на сходимость интеграл

Решение. Имеем:

Значит, данный интеграл расходится.

Вопросы для самопроверки

1. Почему определение интеграла как разделяющего числа не годится для несобственных интегралов?

2. Опишите геометрический смысл понятия сходимости несобственного интеграла 1-го рода. Как найти значение сходящегося несобственного интеграла?

3. Укажите признаки сходимости несобственного интеграла 1-го рода.

4. Что такое несобственный интеграл 2-го рода?

5. Укажите геометрический смысл сходимости интеграла от неограниченной в функции. Как вычисляется значение сходящегося интеграла?

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)