3. Дифференцирование определенного интеграла по верхнему пределу.

Если функция интегрируема на отрезке то она интегрируема на любой части этого отрезка и потому при любом существует интеграл Чтобы не

Рис. 12

Рис. 13

Рис. 14

смешивать обозначения верхнего предела и переменной интегрирования, будем записывать этот интеграл в виде

Мы получили функцию

Если есть площадь криволинейной трапеции с основанием (рис. 14).

Докажем, что при некоторых условиях полученная функция является одной из первообразных для функции . А именно, справедлива следующая теорема.

Теорема 3. Если функция интегрируема на отрезке и непрерывна в некоторой точке этого отрезка, то функция дифференцируема в этой точке и

Другими словами, определенный интеграл с переменным верхним пределом является одной из первообразных для непрерывной подынтегральной функции.

Доказательство. Выберем столь малым, чтобы точка лежала внутри отрезка Рассмотрим соответствующее приращение функции

(здесь было использовано аддитивное свойство определенного интеграла). С геометрической точки зрения полученное нами равенство означает (см. рис. 14), что приращение площади криволинейной трапеции с основанием выражается интегралом (здесь может быть не только положительным, но и отрицательным числом).

Теперь к полученному интегралу применим теорему о среднем значении:

где

Так как функция непрерывна, а при будет с то

Поэтому

что и требовалось доказать.

Из доказанного утверждения вытекает, что если функция непрерывна на отрезке то она имеет на этом отрезке первообразную, а именно функцию

Поэтому доказанная теорема носит название теоремы о существовании первообразной для непрерывной функции.

Пример 1. Найдем производную функции

Решение.

Пример 2. Найдем производную функции

Решение. В данном случае верхний предел является функцией от поэтому воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции: