4. Частные случаи формулы длины кривой.

Рассмотрим некоторые частные случаи общей формулы Если кривая Г задана явным уравнением то ее можно представить параметрическими уравнениями

В этом случае

Полученную формулу записывают короче в виде

Значит,

Пример 2. Вычислим длину дуги цепной линии взятой от точки до точки (рис. 51).

Решение. Найдем производную

Вычислим подкоренное выражение

Длина указанного отрезка цепной линии будет

Рис. 51

Рассмотрим теперь случай, когда кривая Г задана в полярных координатах уравнением где причем функция на отрезке имеет непрерывную производную

Так как декартовы координаты связаны с полярными координатами точек плоскости соотношениями полярное уравнение данной кривой можно записать в виде параметрических уравнений:

отсюда находим:

Поэтому

В силу формулы (10) п. 3 имеем:

Пример 3. Вычислим длину кардиоиды

Решение. Данная функция четная, следовательно, кривая расположена симметрично относительно полярной оси (рис. 52). Поэтому сначала найдем половину длины дуги данной кривой, для которой полярный угол изменяется от 0 до , после чего удвоим полученный результат:

Из формулы (13) получаем выражение для дифференциала дуги, заданной полярным уравнением

Рис. 52

Геометрическую иллюстрацию этой формулы дает рисунок 53. На этом рисунке — дуга рассматриваемой кривой, — дуга окружности с центром в точке О и радиусом — длина дуги Заменяя соответственно на рассматриваем криволинейный треугольник как прямоугольный с катетами и гипотенузой Тогда