3. Свойства площадей квадрируемых фигур.

Покажем, что площади квадрируемых фигур обладают свойствами, похожими на свойства площадей ступенчатых фигур. Сначала докажем следующее утверждение:

а) Пусть квадрируемые фигуры А и В не имеют общих внутренних точек и Тогда фигура С тоже квадрируема, причем ее площадь равна сумме площадей фигур А и В:

В самом деле, из квадрируемости фигур Л и В вытекает, что для любого существуют такие ступенчатые фигуры что причем

Рис. 27

Рис. 28

Положим Тогда — ступенчатая фигура, содержащаяся в , а — ступенчатая фигура, содержащая При этом фигуры и не имеют общих внутренних точек (рис. 27), и потому

Фигуры могут иметь общие внутренние точки (рис. 28), а потому можно утверждать лишь, что

Отсюда следует, что

Итак, для любого нашлись ступенчатые фигуры такие, что причем Поэтому фигура квадрируема.

Из неравенств вытекает, что

С другой стороны,

а потому в силу соотношений (2) и (3)

Мы видим, что числа разделяют одни и те же множества При этом, как было показано, для любого найдутся такие что

Рис. 29

Поэтому указанные множества могут разделяться лишь одним числом. Это и доказывает соотношение (1).

Доказанное свойство называют аддитивностью площади.

Второе свойство площадей состоит в том, что площадь квадрируемой фигуры не изменяется при параллельном переносе. Это следует из того, что при этом переносе каждая внутренняя ступенчатая фигура для переходит во внутреннюю ступенчатую фигуру для образа фигуры , и то же самое верно для внешних ступенчатых фигур. Но это значит, что при параллельном переносе не изменяются ни множество ни множество а потому неизменным остается и разделяющее их число, т. е. площадь фигуры.

Недостатком данного выше определения площади является то, что оно связано с выбором системы координат на плоскости. Мы доказали лишь, что площадь не изменяется (инвариантна) при параллельных переносах, но не доказали такого же утверждения относительно других перемещений (симметрий, поворотов и т. д.). Справедливо более общее утверждение:

б) Если фигура А квадрируема и — конгруэнтная ей фигура, то тоже квадрируема, причем

В курсе геометрии доказывают, что любое перемещение является композицией осевых симметрий. Поэтому достаточно доказать наше утверждение для случая, когда получается из Л с помощью осевой симметрии.

Рассмотрим сначала случай, когда А — прямоугольник, одна из сторон которого параллельна оси симметрии (рис. 29). В этом случае образ этого прямоугольника может быть получен из А не только с помощью осевой симметрии, но и с помощью параллельного переноса. Поэтому Но любую квадрируемую фигуру можно с любой степенью точности заменить фигурой, состоящей из прямоугольников, одна из сторон которых параллельна оси симметрии. Применяя доказанное утверждение для каждого из этих прямоугольников и складывая полученные равенства, убеждаемся, что равенство верно для любых квадрируемых фигур.

Мы доказали, что в классе квадрируемых фигур площадь обладает следующими свойствами:

1°. Для любой фигуры ее площадь — неотрицательное число (неотрицательность площади).

2°. Площади конгруэнтных фигур равны (инвариантность площади относительно перемещений).

3°. Если фигуры и не имеют общих внутренних точек, то

(аддитивность площади).

4°. Площадь единичного квадрата равна единице (условие нормировки).

Можно доказать, что условия однозначно определяют площадь в классе квадрируемых фигур. Это позволяет понятию площади дать аксиоматическое определение, сказав, что на совокупности фигур М определено понятие площади, если на М задана числовая функция удовлетворяющая условиям этом, разумеется, требуется, чтобы совокупность М вместе с двумя не налегающими друг на друга фигурами содержала их объединение).