4. Формула Ньютона—Лейбница.

В § 1 мы доказали, что если функция непрерывна на отрезке то она интегрируема на этом отрезке. В предыдущем пункте было доказано, что если функция непрерывна на отрезке то она имеет на нем первообразную функцию. Но в п. 2 § 1 мы доказали, что если функция на отрезке интегрируема и имеет первообразную, то значение определенного интеграла этой функции (понимаемого как разделяющее число) равно разности значений любой первообразной в точках b и а. Таким образом, справедлива следующая теорема.

Теорема 4. Если функция непрерывна на отрезке одна из первообразных этой функции, то справедливо равенство

Полученная формула называется формулой Ньютона — Лейбница. Она показывает, что в классе непрерывных функций определения интеграла как разности значений первообразной и как разделяющего числа совпадают.

Следует отметить, что формула Ньютона — Лейбница доказана нами только для непрерывных функций. Об интегрировании разрывных функций будет сказано дальше.

Вопросы для самопроверки

1. В чем состоит аддитивное свойство определенного интеграла? Каков геометрический смысл этого свойства?

2. Сформулируйте теорему о среднем. В чем состоит ее геометрический смысл?

3. Можно ли утверждать, что есть первообразная для непрерывной функции Поясните свой вывод.

4. В чем состоит смысл формулы Ньютона — Лейбница? Как и в каких случаях она применяется для вычисления определенных интегралов?

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)