2. Вычисление статических моментов и координат центров тяжести плоских фигур.

Найдем статический момент прямоугольника со сторонами и относительно стороны Разобьем этот прямоугольник на элементарные прямоугольники, имеющие стороны и (рис. 61). Масса элементарного прямоугольника равна его площади (напомним, что по предположению плотность распределения массы равна единице). Поэтому элементарный статический момент равен а статический момент всего прямоугольника равен

Теперь уже легко найти статический момент криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой где — непрерывная и неотрицательная функция на отрезке снизу осью абсцисс, а с боков прямыми

Рис. 61

Разобьем криволинейную трапецию на элементарные прямоугольники, основание каждого из которых равно и высота у. Статический момент такого прямоугольника относительно оси абсцисс по формуле (1) равен, а потому статический момент всей криволинейной трапеции равен — . В случае когда не выполняется предположение о неотрицательности функции эту формулу надо заменить такой:

(части фигуры, расположенные ниже оси абсцисс, дают отрицательный вклад в )

Поскольку по предположению плотность равна единице, то масса криволинейной трапеции равна ее площади, т. е. интегралу а потому ордината центра тяжести этой трапеции выражается формулой

Нетрудно найти и статический момент криволинейной трапеции относительно оси ординат. Для этого достаточно заметить, что расстояние элементарного прямоугольника от этой оси равно Поэтому его статический момент равен а статический момент всей трапеции выражается формулой

Следовательно, абсцисса центра тяжести выражается так:

Пример 3. Найдем статический момент (относительно оси фигуры, ограниченной осью абсцисс и одной аркой циклоиды:

Решение. Так как параметр одной арки циклоиды изменяется от 0 до то

Пример 4. Найдем центр тяжести фигуры, ограниченной осью и одной полуволной синусоиды

Решение. Так как фигура под полуволной синусоиды расположена симметрично относительно прямой то центр тяжести лежит на этой прямой и, следовательно, Ордината

г) центра тяжести находится по формуле

Так как

Итак, центр тяжести данной фигуры находится в точке

Пример 5. Найдем центр тяжести фигуры, ограниченной осью абсцисс и одной аркой циклоиды

Решение. Данная фигура расположена симметрично относительно прямой следовательно, центр тяжести ее находится на этой прямой, и потому ста. Найдем по формуле

Плошадь данной фигуры была вычислена раньше, она равна . Следовательно,

Центр тяжести данной фигуры находится в точке .