4. Необходимое и достаточное условие интегрируемости функции.
Необходимое и достаточное условие интегрируемости функции вытекает из общего необходимого и достаточного условия единственности разделяющего числа. Напомним, что если числовое множество 
расположено справа от числового множества X, то для единственности числа, разделяющего X и 
необходимо и достаточно выполнение условия
В нашем случае множество X состоит из нижних сумм Дарбу, а множество 
из верхних сумм Дарбу. Поэтому необходимое и достаточное условие единственности числа, разделяющего эти множества, принимает вид: для любого 
найдутся верхняя сумма Дарбу 
и нижняя сумма Дарбу 
такие, что 
Эти суммы, вообще говоря, могут соответствовать различным разбиениям 
отрезка 
Но в 
было показано, что если 
— совместное измельчение разбиений 
то выполняются неравенства 
Поэтому из 
следует 
Получаем следующее необходимое и достаточное условие интегрируемости функции.
Теорема 3. Для того чтобы ограниченная функция 
заданная на отрезке 
была интегрируемой на этом отрезке, необходимо и достаточно, чтобы для любого 
нашлось разбиение Р этого отрезка такое, что 
где 
— соответствующие верхняя и нижняя суммы Дарбу.
Рис. 8
условие 
можно записать и так:
Разность 
будем обозначать через 
и называть ее колебанием функции 
на отрезке 
Тогда неравенство (5) можно записать так:
