§ 6. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ

При интегрировании иррациональных функций используются различные приемы. Мы рассмотрим метод рационализации подынтегрального выражения. Он заключается в выборе такой

подстановки которая данное подынтегральное выражение преобразует в рациональное относительно новой переменной Поскольку рациональные функции мы умеем интегрировать, такие подстановки позволяют интегрировать и иррациональные функции.

Пусть — рациональная функция от х и у, т. е. функция, получаемая из и чисел с помощью конечного числа арифметических операций (сложения, умножения и деления). Примерами таких функций могут служить

Если заменить в переменную у выражением то получим функцию одной переменной Интеграл от нее имеет вид:

Этот интеграл рационализируется с помощью подстановки

В самом деле, так как подкоренное выражение представляет собой дробно-линейную относительно функцию, то переменная рационально выражается через переменную

Тогда — рациональная функция. Заменяя теперь переменную в данном интеграле, получим интеграл от рациональной функции новой переменной

Замечание. Если под знаком интеграла содержатся корни с разными показателями, но с одним и тем же дробно-линейным относительно подкоренным выражением, то сначала следует привести их к одному показателю, после чего использовать указанный прием.

Пример 1. Вычислим

Учитывая, что под корнем содержится дробнолинейное выражение, воспользуемся подстановкой

Выразим все компоненты подынтегрального выражения через

Заменив под знаком интеграла переменную новой переменной получим:

Пример 2. Вычислим

Решение. В данном случае под знаком интеграла содержатся корни с разными показателями, но с одним и тем же подкоренным выражением. Наименьшее общее кратное всех показателей корней, входящих в состав подынтегрального выражения, равно 6, поэтому данный интеграл от иррациональной функции может быть рационализирован с помощью подстановки:

Тогда

Заменив переменную под знаком интеграла, получим:

Под знаком интеграла содержится неправильная рациональная дробь. Для выделения целой части разделим числитель на знаменатель так, как это было сделано в примере 5 п. 3 § 5.

Получаем:

Поэтому

Для вычисления выделим в знаменателе полный квадрат аналогично тому, как это было сделано в предыдущем примере. Получим:

Окончательно находим:

где

Упражнения

(см. скан)