2. Замена переменной в определенном интеграле.

Пусть является первообразной для на отрезке и пусть дифференцируемая функция на отрезке отображающая его в отрезок причем . В предыдущем пункте мы видели, что

Значит,

В результате мы приходим к следующему утверждению:

Пусть функция имеет первообразную на отрезке а функция определена на отрезке и дифференцируема внутри этого отрезка, причем Тогда

На этом утверждении и основан метод замены переменной под знаком определенного интеграла. Заметим, что на практике формула (1) используется как «слева направо», так и «справа налево».

Условие, что при имеем: , заведомо выполняется, если функция монотонна на отрезке . Это имеет место, если ее производная сохраняет знак на

Пример 5. Вычислим

Решение. Воспользуемся тригонометрической подстановкой Найдем пределы интегрирования для новой переменной

Функция возрастает на отрезке и принимает на нем все значения от 0 до а. Поэтому 0 и соответственно нижний и верхний пределы интегрирования для новой переменной

Функция на отрезке определена и дифференцируема внутри него, причем Значит, мы можем воспользоваться формулой (1). Используя решение примера 4, получаем:

Пример 6. Вычислим

Решение. Выделим полный квадрат в знаменателе: . Положим Таким образом, 0 и 2 — новые пределы интегрирования. Функция на отрезке определена, дифференцируема и монотонно возрастает; значит, можно воспользоваться формулой (1) (но если в предыдущем примере мы использовали эту формулу «слева направо», то теперь будем идти «справа налево»). Получаем;

Вопросы для самопроверки

1. На каком свойстве дифференциала основан метод замены переменной?

2. Как осуществляется замена переменной под знаком неопределенного интеграла? В каких случаях целесообразно применение этого метода?

3. Что следует написать вместо многоточия в интеграле чтобы целесообразно было сделать подстановку

4. Целесообразно ли в интеграле делать подстановку Целесообразно ли делать ее в интеграле

5. Что должно стоять в знаменателе в интеграле чтобы была целесообразна подстановка

6. Чем отличается замена переменной в определенном интеграле от замены переменной в неопределенном интеграле?

7. Каким условиям должна удовлетворять функция чтобы в определенном интеграле можно было переменную заменить на

Упражнения

(см. скан)

(кликните для просмотра скана)

(см. скан)