2. Интегрирование по частям в определенном интеграле.
Для определенного интеграла формула интегрирования по частям принимает следующий вид:
В самом деле, если
то по формуле интегрирования по частям для неопределенного интеграла имеем:
Поэтому
и
Значит,
а это и есть формула (4).
Пример 5. Вычислим 
Решение. Положим
Воспользовавшись формулой (4), получим:
3. Рекуррентные формулы. Метод интегрирования по частям применяется в ряде случаев для вывода рекуррентных (возвратных) формул. Рассмотрим примеры вывода рекуррентных формул как в случае неопределенного, так и в случае определенного интеграла,
Пример 6. Вычислим 
Решение. Введем обозначение 
(см. скан)
Полученная рекуррентная формула (6), как бы возвращая нас назад от 
позволяет свести вычисление интеграла с индексом 
к вычислению интеграла с меньшим индексом 
Пусть, например, нужно вычислить интеграл 
Воспользуемся рекуррентной формулой (6). В данном случае 
следовательно, 
Имеем:
Для определенных интегралов рекуррентные формулы часто упрощаются за счет того, что при подстановке пределов интегрирования а и b выражение 
обращается в нуль.
Пример 7. Вычислим 
Решение. Введем обозначение 
Воспользовавшись формулой (4), получим:
(см. скан)
Таким образом, рекуррентная формула (7) позволяет свести вычисление интеграла 
к вычислению интеграла, где 
имеет более низкую степень. Например,
Вопросы для самопроверки
1. Какая формула дифференцирования используется при выводе формулы интегрирования по частям?
2 В чем состоит метод интегрирования по частям?
3. Как записывается формула интегрирования по частям в случае неопределенного интеграла? В случае определенного интеграла?
4. В чем заключается идея вычисления интегралов по рекуррентным формулам?
5. Что надо принять за 
, а что за 
в следующих интегралах: 
Обоснуйте свой ответ.
Упражнения
(см. скан)
