5. Свойства неопределенного интеграла.

Вычисление многих интегралов сводится к табличным, если использовать свойства неопределенных интегралов, вытекающие из соответствующих свойств дифференциалов. Рассмотрим некоторые из них:

а) Постоянный множитель можно вынести за знак неопределенного интеграла:

Доказательство. Продифференцировав правую часть равенства, получаем:

Таким образом, дифференциал правой части доказываемой формулы равен подынтегральному выражению левой части, а это и означает справедливость формулы (1).

б) Если существуют интегралы то неопределенный интеграл суммы равен сумме неопределенных интегралов от этих функций:

Доказательство. Продифференцируем правую часть равенства (2):

Мы получили подынтегральное выражение неопределенного интеграла, стоящего в левой части равенства (2), откуда и следует справедливость утверждения.

Пример 4. Вычислим

Решение. Разделив почленно числитель на знаменатель и использовав свойство б), получаем табличные интегралы:

Замечание. Каждый из трех неопределенных интегралов содержит свою произвольную постоянную. В окончательном ответе через С обозначают их сумму, которая также является произвольной постоянной.

Пример 5. Вычислим

Решение. Записав единицу, стоящую в числителе, в тригонометрическом виде , разделим числитель почленно на знаменатель. Применив затем свойство б), получим:

Пример 6. Вычислим

Решение. Раскроем скобки, перейдем к дробным показателям, а затем применим правила интегрирования: