3. Интегрирование неправильных дробей.

Пусть нужно проинтегрировать функцию где — многочлены, причем степень многочлена больше или равна степени многочлена . В этом случае прежде всего необходимо выделить целую часть неправильной дроби т. е. представить ее в виде

где — многочлен степени, равной разности степеней многочленов — правильная дробь.

Тогда

Пример 5. Вычислим

Решение. Имеем:

Для выделения целой части разделим на

Итак,

Значит,

Имеем:

Для вычисления интеграла применяется, как и выше, метод неопределенных коэффициентов. После вычислений, которые мы оставляем читателю, получаем:

Вопросы для самопроверки

1. Приведите примеры простейших рациональных функций вида 1) — 4).

2. Какая рациональная функция называется правильной дробью? Какая рациональная функция называется неправильной дробью?

3. В каком случае разложение правильной дроби на простейшие будет содержать лишь дроби 1-го рода?

4. В каком случае разложение правильной дроби на простейшие будет содержать и дроби 2-го рода?

5. В каком случае приходится применять рекуррентную формулу при интегрировании рациональных функций? Какой вид имеет эта формула?

6. К какой задаче сводится отыскание коэффициентов при разложении правильной дроби на простейшие?

7. Сформулируйте алгоритм интегрирования рациональных функций.

8. Как найти А и В из равенства

Упражнения

(см. скан)