§ 2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМОВ ТЕЛ

1. Кубируемые тела.

В этом параграфе рассмотрим вопрос о вычислении объемов тел. Начнем с простейших тел — прямоугольных параллелепипедов.

Выберем в пространстве прямоугольную систему координат Oxyz. Пусть А — допустимый прямоугольный параллелепипед (параллелепипед, стороны которого параллельны осям координат), длины ребер которого равны а, b, с. Назовем число объемом этого параллелепипеда и обозначим его Очевидно, что если параллелепипед разделен плоскостью, параллельной одной из координатных плоскостей, на параллелепипеды В и С, то выполняется равенство

Далее, если параллелепипед получается из параллелепипеда параллельным переносом, то Наконец, объем куба с длиной ребра 1 равен 1.

Мы хотим распространить понятие объема на более широкий класс тел, чем класс допустимых параллелепипедов. Назовем ступенчатым любое тело которое можно представить в виде объединения конечного числа таких параллелепипедов, никакие два из которых не имеют общих внутренних точек.

Пусть — разложение ступенчатого тела на такие параллелепипеды. Положим по определению, что

Это определение не зависит от того, каким способом тело разложено на параллелепипеды.

Возьмем теперь любое тело Обозначим через числовое множество, состоящее из объемов ступенчатых тел, целиком содержащихся в , а через — множество объемов ступенчатых тел, содержащих :

Тогда числовое множество лежит левее числового множества . В самом деле, если Так как ступенчатое тело — часть ступенчатого тела а это и значит, что .

Поскольку лежит левее то найдется хотя бы одно число, разделяющее эти множества. Если и разделяются лишь одним числом, то тело Т называют кубируемым, а число, разделяющее множества и — объемом этого тела. Его обозначают

Итак, объемом кубируемого тела называют единственное число, разделяющее множество объемов ступенчатых тел, содержащихся в Г, и множество объемов ступенчатых тел, содержащих Т.

Применяя необходимое и достаточное условие единственности разделяющего числа, получаем следующее необходимое и достаточное условие кубируемости тела:

Для того чтобы тело Т было кубируемым, необходимо и достаточно, чтобы для любого нашлись ступенчатые тела и такие, что

Объем тел обладает свойством аддитивности:

Если — кубируемые тела, не имеющие общих внутренних точек, то их объединение также кубируемо, причем выполняется равенство

Мы опускаем доказательство этого утверждения, поскольку оно проводится так же, как и для площадей. Отметим только, что внутренней точкой тела Т называется всякая точка, которая принадлежит телу Т вместе с некоторой своей окрестностью (т. е. открытым шаром с центром в данной точке).

Далее очевидно, что если тело Т кубируемо, а тело получается из Т параллельным переносом, то тело также кубируемо, причем Можно доказать, что справедливо более общее утверждение: если тело конгруэнтно кубируемому телу , то кубируемо и

Понятие объема можно определить и аксиоматически теми же требованиями что и площадь (см. с. 95). Разница состоит лишь в том, что иначе понимается условие отсутствия общих внутренних точек (окрестности берутся не на плоскости, а в пространстве) и иначе выглядит условие нормировки.

Мы будем использовать в дальнейшем следующее достаточное условие кубируемости тела.

Если для любого найдутся такие кубируемые тела что причем то тело Т кубируемо.