Глава I. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛЫ
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
1. Задача восстановления функции по ее производной.
В дифференциальном исчислении рассматривались задачи, решение которых требовало отыскания производной данной функции. В ряде случаев приходится решать обратную задачу: по заданной производной отыскивать функцию, которую дифференцировали. Задачи такого рода решаются в разделе математического анализа, называемом интегральным исчислением. Методы интегрального исчисления позволяют решать задачи на вычисление площадей плоских фигур, длин дуг, объемов тел и другие геометрические и физические задачи.
Пример 1. Пусть скорость движения точки в момент времени t равна 2t. Найдем выражение для координаты точки в момент времени t (точка движется по прямой).
Решение. Известно, что Так как в данном случае то ответом к задаче могут быть функции в общем виде ответ на поставленный вопрос записывается в виде , где С — произвольная постоянная.
Из приведенного примера видно, что обратная задача имеет бесконечное множество решений. Чтобы получить определенный закон движения, необходимо знать, например, положение точки в момент времени Если при имеем то , и потому
Перемещение точки за промежуток времени равно , следовательно, оно не зависит от С.