§ 6. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К РЕШЕНИЮ ФИЗИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

1. Вычисление статических моментов и координат центра тяжести материальной кривой.

а) Пусть материальная точка А массы отстоит от оси на расстоянии Статическим моментом этой точки относительно оси называют число Статическим моментом системы материальных точек расположенных по одну сторону от оси массы которых равны а расстояния от оси равны называют число

Если же эти точки расположены по разные стороны от оси, то для точек, находящихся по одну сторону оси, расстояния берутся положительными, а для точек по другую сторону от оси — отрицательными.

Поэтому если точки расположены на координатной плоскости, статический момент относительно оси — относительно оси

б) Рассмотрим теперь случай, когда масса равномерно распределена по некоторой кривой Г или по некоторой области X. Будем считать, что плотность распределения равна единице. Тогда масса дуги численно равна ее длине, а масса области — ее площади.

Начнем со случая кривой линии Г, задаваемой уравнением причем предположим, что функция непрерывна и неотрицательна.

Как обычно, разобьем отрезок на части точками и обозначим через тк и наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке Этому разбиению соответствует разбиение дуги Г на части (Рис 60). Из физических соображений ясно, что статический момент части относительно оси абсцисс заключен между и где -длина этой части, (напомним, что мы положили линейную плотность дуги равной единице).

Таким образом,

Поэтому

Рис. 60

т.е.

Так как на отрезке выполняется неравенство

то в тех же границах, что и заключен интеграл

Значит,

Этот интеграл обозначают также следующим образом:

Физики обычно заменяют проведенное рассуждение более коротким. Они берут «бесконечно малый участок дуги» Его статический момент равен . А статический момент всей дуги равен сумме элементарных статических моментов, т. е. Преимуществом этого вывода является его наглядность. Однако в нем не определено, что такое «бесконечно малый участок дуги», или как еще говорят, «элемент дуги». При уточнении этого понятия мы вновь приходим к более длинному выводу, изложенному ранее. В дальнейшем для краткости изложения мы будем использовать принятый в физике метод рассуждений. С его помощью сразу выводим, что

Как формула (1), так и формула (2) верны и в случае, когда кривая Г пересекает оси координат,

в) Введем понятие центра тяжести.

Определение. Центром тяжести тела называется такая точка С, что если в ней сосредоточить всю его массу, то статический момент этой точки относительно любой оси будет равен статическому моменту всего тела относительно той же оси.

Обозначим через расстояния центра тяжести кривой от осей ординат и абсцисс.

Тогда, пользуясь определением центра тяжести кривой, получим:

Разрешая полученные равенства относительно найдем координаты центра тяжести плоской кривой Г:

Замечание. Если кривая расположена симметрично относительно некоторой прямой, то центр тяжести такой кривой находится на этой прямой.

Это замечание позволяет в некоторых случаях упростить нахождение координат центра тяжести плоской кривой.

Пример 1. Найдем статический момент полуокружности относительно диаметра.

Решение. Выберем систему координат так, чтобы центр окружности совпал с началом координат, а диаметр, относительно которого мы ищем статический момент, совпал с осью Тогда статический момент полуокружности относительно диаметра выразится формулой

где — дифференциал дуги кривой

В выбранной системе координат уравнение полуокружности запишется так:

Тогда

и потому

Следовательно,

Пример 2. Найдем центр тяжести четверти окружности расположенной в первом квадранте.

Решение. Данная кривая расположена симметрично относительна биссектрисы первого координатного угла, следовательно,

центр тяжести этой кривой лежит на биссектрисе, а потому Достаточно найти только , пользуясь формулой

Вычисление проще провести, перейдя к параметрическим уравнениям окружности. Так как ее радиус равен двум, то для четверти окружности имеем:

Отсюда находим, что

Поскольку длина четверти данной окружности равна