6. Интегрируемость непрерывных функций.

Геометрически представляется очевидным, что если функция непрерывна на отрезке то при достаточно мелком разбиении этого отрезка все колебания со станут достаточно малыми, и потому сумма тоже станет мала. Иными словами, естественно предположить, что все непрерывные на отрезке функции интегрируемы на нем. Для доказательства этого утверждения понадобится следующая лемма:

Лемма 4. Если функция непрерывна на отрезке , то для любого найдется хоть одно разбиение Р этого отрезка такое, что все меньше

Доказательство этого утверждения проведем методом от противного.

Предположим, что для какого-то такое разбиение невозможно. Это значит, что для любого разбиения Р отрезка найдется такой номер что

Разделим отрезок пополам. Тогда для выбранного хотя бы одну из половин отрезка нельзя разбить требуемым образом (так как если бы обе его половины можно было разбить требуемым образом, то и весь отрезок был бы разбит требуемым образом).

Выбрав ту из его половин, которую нельзя разбить требуемым образом, например разобьем ее снова пополам (рис. 9).

Одна из вновь полученных половин, например в соответствии с нашим предположением, не может быть разбита требуемым образом (для выбранного

Продолжая дальше указанный процесс разбиения отрезков, получим стягивающуюся

Рис. 9

Рис. 10

последовательность отрезков, такую, что ни один из отрезков этой системы не может быть для данного разбит требуемым образом. По принципу стягивающихся отрезков существует одна и только одна точка с, общая всем этим отрезкам. В точке с, принадлежащей отрезкам функция условию непрерывна. Значит, у этой точки есть окрестность в которой выполняется неравенство

При достаточно большом значении отрезок целиком лежит внутри -окрестности точки с (рис. 10).

Пусть — наибольшее значение функции на отрезке — наименьшее значение функции на этом отрезке. Так как точки, в которых функция принимает значения принадлежат одновременно и промежутку то имеют место неравенства

Поэтому

Таким образом, вопреки нашему предположению, мы получили отрезок на котором уже выполнено неравенство Значит, наше предположение было неверным, и, следовательно, справедливо утверждение леммы.

Теорема 5. Если функция непрерывна на отрезке то она интегрируема на этом отрезке.

Доказательство. Возьмем произвольное По доказанному выше существует такое разбиение Р, что для всех имеем:

Но тогда

Но выше, в п. 4 мы отметили, что неравенство означает по теореме 3 интегрируемость функции на

Вопросы для самопроверки

1. Как составляются суммы Дарбу? Какими свойствами они обладают?

2. В чем состоит геометрический смысл сумм Дарбу?

3. Дайте геометрическое истолкование свойств сумм Дарбу.

4. Что называется определенным интегралом от интегрируемой функции на отрезке

5. В чем состоит необходимое и достаточное условие интегрируемости функции на отрезке

6. Чему равны нижняя и верхняя суммы Дарбу, если подынтегральная функция постоянна?

7. Чему равна разность верхней и нижней сумм Дарбу, если подынтегральная функция монотонна и все отрезки разбиения равны?

8. Приведите примеры интегрируемых функций.

9. Опишите два подхода к определению определенного интеграла. Как они связаны?

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)