2. Интегрирование четных, нечетных и периодических функций.
Пусть функция 
определена на отрезке 
и четна на этом отрезке. Тогда ее график симметричен относительно оси 
(рис. 15).
Площади криволинейных трапеций, заштрихованной и незаштрихованной на рисунке 15, равны, поскольку эти трапеции конгруэнтны. Значит,
Эту формулу можно доказать и без использования геометрических соображений. В самом деле, произведем замену переменной под знаком определенного интеграла 
положив 
Тогда
В силу четности функции 
имеем: 
. Значит,
Поскольку определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования, то можно написать
Значит,
Рис. 15
Рис. 16
Из этого равенства следует утверждение: если функция 
непрерывна на отрезке 
и является четной, то
В самом деле, из свойства аддитивности и равенства (1) получаем:
Аналогично доказывается, что для нечетных функций
Если функция 
имеет период Т и интегрируема на отрезке 
, то для любого а справедливо равенство
Геометрический смысл этого равенства виден из рисунка 16 (площади заштрихованных криволинейных трапеций равны).
Для доказательсгва равенства (4) заметим, что найдется такое целое число 
что 
и потому а 
Представим левую часть равенства (4) в виде
а во втором — подстановку 
Когда 
изменяется от а до 
изменяется от 
до Т, а когда 
изменяется от 
до 
меняется от 0 до 
. Следовательно,
