2. Интегрирование четных, нечетных и периодических функций.

Пусть функция определена на отрезке и четна на этом отрезке. Тогда ее график симметричен относительно оси (рис. 15).

Площади криволинейных трапеций, заштрихованной и незаштрихованной на рисунке 15, равны, поскольку эти трапеции конгруэнтны. Значит,

Эту формулу можно доказать и без использования геометрических соображений. В самом деле, произведем замену переменной под знаком определенного интеграла положив

Тогда

В силу четности функции имеем: . Значит,

Поскольку определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования, то можно написать

Значит,

Рис. 15

Рис. 16

Из этого равенства следует утверждение: если функция непрерывна на отрезке и является четной, то

В самом деле, из свойства аддитивности и равенства (1) получаем:

Аналогично доказывается, что для нечетных функций

Если функция имеет период Т и интегрируема на отрезке , то для любого а справедливо равенство

Геометрический смысл этого равенства виден из рисунка 16 (площади заштрихованных криволинейных трапеций равны).

Для доказательсгва равенства (4) заметим, что найдется такое целое число что и потому а Представим левую часть равенства (4) в виде

В первом слагаемом сделаем подстановку а во втором — подстановку Когда изменяется от а до изменяется от до Т, а когда изменяется от до меняется от 0 до . Следовательно,

Равенство (4) доказано.