2. Определенный интеграл как разделяющее число.

Числа тк и входящие в неравенство (2), могли выбираться произвольно, лишь бы на каждом из отрезков выполнялось неравенство Наиболее точная оценка интеграла при данном разбиении отрезка получится, если взять наименьшим, наибольшим из всех возможных значений. Это значит, что в качестве надо взять точную нижнюю границу значений функции на отрезке , а в качестве — точную верхнюю границу этих значений на том же отрезке:

Если — ограниченная функция на отрезке , то она ограничена и на каждом из отрезков а потому для нее определены по равенствам (3) числа При таком выборе чисел и суммы называют, соответственно, нижней и верхней интегральными суммами Дарбу для функции при данном разбиении Р:

отрезка . Будем обозначать эти суммы соответственно , а если функция фиксирована, то просто

Неравенство (2) означает, что если ограниченная на отрезке функция имеет на этом отрезке первообразную, то определенный интеграл разделяет числовые множества состоящие соответственно из всех нижних и верхних сумм Дарбу для всевозможных разбиений Р отрезка Вообще говоря, может случиться, что число, разделяющее эти два множества, не единственно. Но ниже мы увидим, что для наиболее важных

классов функций (в частности, для непрерывных функций) оно единственно.

Это позволяет ввести новое определение для не опирающееся на понятие первообразной, а использующее лишь суммы Дарбу.

Определение. Функция ограниченная на отрезке называется интегрируемой на этом отрезке, если существует единственное число разделяющее множества нижних и верхних сумм Дарбу, образованных для всевозможных разбиений отрезка Если функция интегрируема на отрезке , то единственное число, разделяющее эти множества, называют определенным интегралом этой функции по отрезку и означают

Мы определили интеграл для случая, когда Если то положим

Это определение естественно, так как при изменении направления промежутка интегрирования все разности меняют знак, а тогда меняют знаки и суммы Дарбу и, тем самым, разделяющее их число, т. е. интеграл.

Так как при все обращаются в нуль, то положим

Мы получили два определения понятия определенного интеграла: как разности значений первообразной и как разделяющего числа для сумм Дарбу. Эти определения в наиболее важных случаях приводят к одному и тому же результату:

Теорема 2. Если функция ограничена на отрезке и имеет на нем первообразную причем существует единственное число, разделяющее нижние и верхние суммы Дарбу, то это число равно .

Доказательство. Мы доказали выше, что число разделяет множества Так как по

условию разделяющее число однозначно определено, то оно совпадает с

Начиная с этого момента мы будем применять обозначение лишь для единственного числа, разделяющего множества Из доказанной теоремы следует, что при этом не возникает противоречия с тем пониманием этого обозначения, которым мы пользовались выше.