§ 7. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ
Рассмотрим интегралы вида
где 
— рациональная функцця. Такие интегралы всегда рационализируются подстановкой 
. В самом деле,
Выразим далее переменную 
через переменную 
Так как 
а потому 
Значит
Таким образом, задача свелась к вычислению интеграла от рациональной функции. Поскольку подстановка 
позволяет рационализировать любой интеграл вида 
то ее называют универсальной подстановкой. Любой интеграл этого вида выражается через элементарные функции.
Пример 1. Вычислим 
Решение. Воспользуемся универсальной подстановкой 
Имеем:
Заменив переменную под знаком интеграла, получим:
Хотя подстановка 
универсальна, она часто приводит к слишком громоздким выкладкам. Во многих случаях удается упростить вычисление интегралов вида 
воспользовавшись другими подстановками. Так, если при изменении знака 
меняется знак 
то интеграл можно рационализировать с помощью подстановки 
Если при изменении знака 
меняется знак 
то целесообразна подстановка 
Если при одновременном изменении знака 
не меняется:
то рационализация достигается с помощью одной из подстановок:
Поясним сказанное на примерах.
Пример 2. Вычислим 
Решение. В данном случае имеем:
Воспользуемся подстановкой 
Заметим, что
Значит,
Пример 3. Вычислим 
Решение. В данном случае имеем:
Воспользуемся подстановкой 
Пример 4. Вычислим 
Решение. В данном случае имеем:
Значит, в качестве рационализирующей может выступить одна из двух подстановок 
или 
Имеем:
В данном случае целесообразно сделать подстановку 
Тогда 
следовательно,
При вычислении интегралов от тригонометрических функций для преобразования подынтегральных выражений часто используются различные формулы тригонометрии. В первую очередь применяют формулы:
и их частные случаи:
Из формул (1), (2), (3) получаем, что при 
Пример 5. Вычислим 
Решение.
Пример 6. Вычислим 
Решение. Несколько раз воспользуемся формулами преобразования произведения в сумму:
Вопросы для самопроверки
1. Почему подстановку 
называют универсальной?
2. Какими свойствами должна обладать подынтегральная функция, чтобы целесообразно было пользоваться другими тригонометрическими подстановками?
