5. Объем тела вращения.

Пусть Т — тело вращения, образованное вращением вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, расположенной в верхней полуплоскости и ограниченной осью абсцисс, прямыми графиком непрерывной функции

Докажем, что это тело вращения кубируемо и его объем выражается формулой

Рис. 46

Сначала докажем, что это тело вращения регулярно, если в качестве П выберем плоскость перпендикулярную оси вращения. Отметим, что сечение, находящееся на расстоянии от плоскости является кругом радиуса и его площадь равна (рис. 46). Поэтому функция непрерывна в силу непрерывности Далее, если то это значит, что Но проекциями сечений на плоскость являются круги радиусов с центром О, и из вытекает, что круг радиуса содержится в круге радиуса

Итак, тело вращения регулярно. Следовательно, оно кубируемо и его объем вычисляется по формуле

Если бы криволинейная трапеция была ограничена и снизу и сверху кривыми то

Формулой (3) можно воспользоваться и для вычисления объема тела вращения в случае, когда граница вращающейся фигуры задана параметрическими уравнениями. В этом случае приходится пользоваться заменой переменной под знаком определенного интеграла.

В некоторых случаях оказывается удобным разлагать тела вращения не на прямые круговые цилиндры, а на фигуры иного вида.

Например, найдем объем получаемого при вращении криволинейной трапеции вокруг оси ординат. Сначала найдем объем, получаемый при вращении прямоугольника с высотой в основании которого лежит отрезок Этот объем равен разности объемов двух прямых круговых цилиндров

Но теперь ясно, что искомый объем оценивается сверху и снизу следующим образом:

Отсюда легко следует, что

Пример 4. Найдем объем шара радиуса

Решение. Не теряя общности, будем рассматривать круг радиуса с центром в начале координат. Этот круг, вращаясь

Рис. 47

вокруг оси образует шар. Уравнение окружности имеет вид поэтому Учитывая симметрию круга относительно оси ординат, найдем сначала половину искомого объема

Следовательно, объем всего шара равен

Пример 5. Вычислим объем конуса, высота которого и радиус основания

Решение. Выберем систему координат так, чтобы ось совпала с высотой (рис. 47), а вершину конуса примем за начало координат. Тогда уравнение прямой О А запишется в виде Пользуясь формулой (3), получим:

Пример 6. Найдем объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс астроиды (рис. 48).

Решение. Построим астроиду. Рассмотрим половину верхней части астроиды, расположенной симметрично относительно оси ординат. Используя формулу (3) и меняя переменную под знаком определенного интеграла, найдем для новой переменной пределы интегрирования.

Если

Учитывая, что получаем:

Рис. 48

Применяя рекуррентную формулу (см. с. 22), получаем, что

Объем всего тела вращения будет —

Пример 7. Найдем объем тела, получаемого при вращении вокруг оси ординат криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс и первой аркой циклоиды

Решение. Воспользуемся формулой (4):

и заменим переменную под знаком интеграла, учитывая, что первая арка циклоиды образуется при изменении переменной от 0 до Таким образом,

Вопросы для самопроверки

1. Какое тело называется ступенчатым?

2. Какое тело называется кубируемым?

3. Что называется объемом тела?

4. Сформулируйте необходимое и достаточное условие кубируемости тела.

5. Какими свойствами обладает объем тела?

6. Как определяется прямое цилиндрическое тело?

7. Как вычисляется объем прямого цилиндрического тела?

8. Какое тело называется регулярным?

9. Чему равен объем регулярного тела?

10. В чем состоит принцип Кавальери?

И. Какое тело называется телом вращения?

12. Как находится объем тела, полученного от вращения фигуры вокруг одной из координатных осей? Рассмотрите различные случаи задания границы данной фигуры.

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)