§ 2. СУЩЕСТВОВАНИЕ ПЕРВООБРАЗНОЙ ДЛЯ НЕПРЕРЫВНОЙ ФУНКЦИИ

Вычисление определенных интегралов путем нахождения числа, разделяющего множества сумм Дарбу, весьма громоздко. Гораздо проще вычислять определенный интеграл как разность значений первообразной. Но для этого нужно выяснить, какие из интегрируемых функций имеют первообразные. Мы докажем, что их имеют все непрерывные функции.

1. Разбиение промежутка интегрирования.

Теорема 1. Если функция интегрируема на отрезках то она интегрируема и на отрезке причем выполняется равенство

Доказательство. Возьмем любое разбиение отрезка Не ограничивая общности рассуждений, можно считать, что точка с является одной из точек разбиения (в противном случае мы присоединим ее к ним). Но тогда, если, например, каждая сумма Дарбу для отрезка распадается на две суммы, соответствующие отрезкам

где

Так как функция интегрируема на отрезках то для любого найдутся такие разбиения этих отрезков, что

Эти разбиения в совокупности образуют разбиение Р отрезка При этом имеем:

откуда следует, что функция интегрируема и на отрезке

Из неравенств

следует, что

Таким образом, как так и разделяют множества сумм Дарбу для отрезка Поскольку эти множества разделяются лишь одним числом, то равенство (1) доказано.

Отметим что если то

Значит, и в этом случае