2. Достаточное условие спрямляемости кривой.

Назовем жорданову кривую Г:

регулярной, если функции имеют на отрезке непрерывные производные. Справедлива следующая теорема.

Теорема 1. Всякая регулярная жорданова кривая Г спрямляема.

Доказательство. Разобьем отрезок на части точками и впишем в кривую Г ломаную, соответствующую этому разбиению. Рассмотрим одно звено этой ломаной, (рис. 49). Длина этого звена равна

Рис. 49

Но по теореме Лагранжа найдутся такие что

и поэтому

Значит, длина всей ломаной выражается формулой

По условию производные непрерывны на отрезке Поэтому для на отрезке есть наибольшие значения. Обозначим их А и В:

Но тогда

а потому в силу (3)

Поскольку то для всех ломаных, вписанных в кривую Г,

Поэтому кривая Г спрямляема.

Отметим, что из равенства (3) вытекает также оценка длины ломаной снизу:

где — наименьшие значения для на отрезке

Из неравенств (4) и (5) вытекают аналогичные неравенства для длины кривой:

Неравенство (7) следует из неравенства (5) и из того, что Чтобы доказать неравенство (6), заметим, что в силу неравенства является одной из верхних границ для длин вписанных в Г ломаных, число же — точная верхняя граница для этих длин, т. е. наименьшая из верхних границ. Отсюда и следует неравенство (6).