Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ1. Интегрирование по частям в неопределенном интеграле.Метод вычисления интегралов, называемый интегрированием по частям, основан на правиле дифференцирования произведения. Пусть
Взяв неопределенный интеграл от обеих частей этого равенства, получим:
Так как
а
то получаем:
откуда
Поскольку
Полученная формула называется формулой интегрирования по частям. При выводе формулы (1) мы предположили, что функции и Заметим, что одно и то же подынтегральное выражение можно различными способами записать в виде
и т. д. Поэтому иногда приходится испытывать различные формы такой записи, прежде чем метод приведет к успеху. Обычно стараются подынтегральное выражение разбить на части и и
Используя формулу (1), получаем:
Замечание. При нахождении
Используя формулу (1), получим:
Чтобы вычислить полученный в правой части равенства (2) интеграл, приходится снова использовать метод интегрирования по частям. Получим (см. пример 1):
Возвращаясь к исходному интегралу и воспользовавшись промежуточным равенством (2), окончательно получаем:
Пример 3. Вычислим Решение. В данном случае удобнее за и принять не степенную функцию, как в предыдущих примерах, а логарифмическую функцию. Положим Используя формулу (1), будем иметь:
Пример 4. Вычислим Решение. В данном случае под знаком интеграла содержится произведение двух функций
Преобразуем данный интеграл, воспользовавшись формулой (1):
В правой части получили интеграл того же вида, что и данный. Для его вычисления применим метод интегрирования по частям, снова взяв за
Таким образом,
В правой части равенства (3) содержится точно такой же интеграл, что и в левой части, но с другим знаком. Из равенства (3) получаем:
и далее:
Замечание. После переноса интеграла в левую часть равенства (3) надо оставить в правой части произвольную постоянную
|
1 |
Оглавление
|