§ 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ

1. Интегрирование по частям в неопределенном интеграле.

Метод вычисления интегралов, называемый интегрированием по частям, основан на правиле дифференцирования произведения.

Пусть — функции, дифференцируемые на некотором промежутке X. Тогда, как известно, дифференциал произведения этих функций вычисляется по формуле

Взяв неопределенный интеграл от обеих частей этого равенства, получим:

Так как

а

то получаем:

откуда

Поскольку уже содержит произвольную постоянную, в правой части полученного равенства С можно опустить и записать равенство в виде

Полученная формула называется формулой интегрирования по частям.

При выводе формулы (1) мы предположили, что функции и дифференцируемы. Этой формулой обычно пользуются в тех случаях, когда подынтегральное выражение проще, чем подынтегральное выражение

Заметим, что одно и то же подынтегральное выражение можно различными способами записать в виде Например,

и т. д. Поэтому иногда приходится испытывать различные формы такой записи, прежде чем метод приведет к успеху. Обычно стараются подынтегральное выражение разбить на части и и так, чтобы вид был не сложнее, чем вид а вид проще, чем вид и. В частности, полезно иметь в виду, что для таких функций, как производные имеют вид более простой, чем сами функции. Поэтому в большинстве случаев эти функции удобно принимать за

Используя формулу (1), получаем:

Замечание. При нахождении не пишут промежуточную произвольную постоянную так как она не оказывает влияния на окончательный результат.

Используя формулу (1), получим:

Чтобы вычислить полученный в правой части равенства (2) интеграл, приходится снова использовать метод интегрирования по частям. Получим (см. пример 1):

Возвращаясь к исходному интегралу и воспользовавшись промежуточным равенством (2), окончательно получаем:

Пример 3. Вычислим

Решение. В данном случае удобнее за и принять не степенную функцию, как в предыдущих примерах, а логарифмическую функцию. Положим

Используя формулу (1), будем иметь:

Пример 4. Вычислим

Решение. В данном случае под знаком интеграла содержится произведение двух функций Производная и первообразная каждой из этих функций не проще самой функции. Это значит, что в данном случае за и можно принять любую из функций Положим

Преобразуем данный интеграл, воспользовавшись формулой (1):

В правой части получили интеграл того же вида, что и данный. Для его вычисления применим метод интегрирования по частям, снова взяв за показательную функцию:

Таким образом,

В правой части равенства (3) содержится точно такой же интеграл, что и в левой части, но с другим знаком. Из равенства (3) получаем:

и далее:

Замечание. После переноса интеграла в левую часть равенства (3) надо оставить в правой части произвольную постоянную неявно содержащуюся в записи интеграла.