§ 1. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ КАК ЧИСЛО, РАЗДЕЛЯЮЩЕЕ ДВА ЧИСЛОВЫХ МНОЖЕСТВА
Установим сначала некоторые свойства определенного интеграла, понимаемого как разность значений первообразной.
1. Оценки определенных интегралов.
Теорема 1. Пусть функция 
ограничена на отрезке 
соответственно, наименьшее и наибольшее значения функции 
на 
, причем на этом отрезке функция 
имеет первообразную. Тогда
Доказательство. Пусть 
— одна из первообразных для функции 
на отрезке 
Тогда 
По теореме Лагранжа
где 
Но 
значит,
По условию для всех значений 
из отрезка 
выполняется неравенство
поэтому 
, следовательно,
т. е.
что и требовалось доказать.
Двойное неравенство (1) дает лишь весьма грубую оценку для значения определенного интеграла. Например, на отрезке [1; 5] значения функции 
заключены между 1 и 25, а потому имеют место неравенства
Чтобы получить более точную оценку, разбивают отрезок 
на несколько частей точками 
и к каждой части 
применяют неравенство (1). Если на отрезке 
выполняется неравенство 
то
где через 
обозначена разность 
длина отрезка 
Записывая эти неравенства для всех значений 
от 0 до 
и складывая их, получим:
Но по аддитивному свойству определенного интеграла (см. § 1 гл. I) сумма интегралов по всем частям отрезка 
равна интегралу по этому отрезку, т. е.
Значит,
Например, если разбить отрезок [1; 5] на 10 равных частей, каждая из которых имеет длину 0,4, то на частичном отрезке 
выполняется неравенство
Поэтому имеем:
Вычисляя, получаем:
Эта оценка гораздо точнее полученной ранее 
Чтобы получить еще более точную оценку интеграла, надо разбить отрезок [1; 5] не на 10, а, скажем, на 100 или 1000 частей и сосчитать соответствующие суммы. Разумеется, данный интеграл проще вычислить с помощью первообразной:
Но если выражение для первообразной нам неизвестно, то неравенства (2) дают возможность оценить значение интеграла снизу и сверху.
